DI RICCARDO DE PAOLIS 577 



Ogni elemento della forma che la contiene. I gruppi della Ip„_n sono quelli degli 

 elementi n-pli delle involuzioni di un sistema S» „, la cui base è una Ij^n "_t . Ora 



un elemento A è ^^+l^-plo per un gruppo della Ip„,^, quindi è |^-+iyplo per 



il gruppo degli elementi «-pli di una lp^„^i di „ e perciò A rispetto alla Ii),,„_i 



è apolare contato - volte. 8e l2?'„ Ip»„ „_i , Ip„ „_, sono capaci di individuare 



" n 



S"„, [Ay insieme ad altri - elementi determinati costituisce un gruppo comune 



« n 



alle Ip\,_„_, e siccome [-4]* è apokre rispetto alla li',.,,,-!, il detto gruppo 



n 



è apolare rispetto alla Ip„ n_i. Si vede cosi che ogni elemento deve essere --pio per 



questa involuzione; ma abbiamo dimostrato che ciò è impossibile, essendo 2 l^<n; 



dunque anche se 2p = n una 1^),,^ non può possedei'e infiniti elementi (jO + l)-pli. 



Posto ciò, ricordandoci che gli elementi (jO + l)-pli di una Ì-P,,^^ sono gli ele- 

 menti (/3 + 1 ) (n — ,o)-pli di una corrispondenza proiettiva |^p(» — p), n — pj (135), 

 possiamo dire che: 



Una lp„^ possiede ((5 + l)(« — p) elementi {p4-l)-pli- 



146. — Consideriamo due involuzioni , lp„^ i., rispettivamente contenute 



nelle forme JP,*, i^i* e facciamo corrispondere projettivamente i loro gruppi 0„^ , 

 (128). Allora ogni elemento Ai appartiene ad un determinato gruppo e quindi 

 individua gli m, elementi del gruppo corrispondente ; ogni elemento A^ appartiene 

 ad im determinato gruppo e quindi individua gli m^ elementi del gruppo cor- 

 sispondente . Si ha così una corrispondenza [«/j , «»s] che è projettiva. Infatti 

 le ip„^_„-i, Ipmj.m^-n che hanno per elementi Wi-pli, wzj-pli rispettivamente quelli 

 di due gruppi corrispondenti , Gf„^, generano due fasci projettivi, e possiamo farle 

 corrispondere projettivamente agli elementi A' di una stessa forma Fi . Le ìpm m — i ? 

 IPmj,n,-i sono polari di A' rispetto a due aggruppamenti Ap„^^i, Ap„^+i, ed è evi- 

 dente che la detta corrispondenza [?»i,»W2] è risultante delle corrispondenze [1,j>/i], 

 [1, WjJ stabilite sulle i^/, Fj* ; F,', i^,* da Ap„^+i , A^'^^+i e quindi è projettiva. Ne 



segue che, se le lp„^ i, Ipm^, i sono contenute in una stessa forma, vi sono + 



elementi, e solamente Wj+w^s, ciascuno dei quali appartiene a due gruppi corri- 

 spondenti. 



L'aggruppamento A.p„^^„^ che stabilisce la corrispondenza risultante , nu] e 

 costituito da ciascun gruppo di ciascuna ^Pm^,m^-ì. insieme a ciascun gruppo della 

 corrispondente Ip^^^ . 



Supponiamo che le forme contenenti le Ip^^, i , Ipm^.t siano sovrapposte e che 

 Serie II. Tom. XLII a* 



