578 LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



un elemento A sia r-plo per un gruppo e 5-plo per il corrispondente gruppo 

 G„ , cioè che A sia apolare contato — »*4-l volte per la ,„ _t e sia apolare 

 contato s+l volte per la lp„ „ _i. Allora possiamo dimostrare che, se r^s , l'ele- 

 mento A rispetto ad À.p„^^„^ è apolare contato «?j+'"s — s + l volte, in tutti i modi pos- 

 sibili, e quindi è s-plo per il gruppo G„ degli elementi (»??i4-»»,)-pli di A.p„^^„^ (119)- 

 Contiamo A come appartenente 2^ volte alle forme sovrapposte che contengono la 

 IPm .m -I 6 come appartenente q volte alle forme sovrapposte che contengono la lp„^^^ _i, 



in modo che sia jp + g = + w?, — s + l. Essendo evidentemente p^w, deve 

 essere 5^013 — s +1, j)^J«i — s + l e quindi p^)»^ — ^ + 1, perchè r^s. Ne segue 

 che [-4]'' è apolare rispetto alla ip„^^„-i, che [A]'' è apolare rispetto alla I^J^^ ™^^, , 

 cioè ne segue che [Ay insieme ad un qualunque gruppo G„ _p dà un gruppo della 

 Ijpm m -1 ed r^l' insieme ad un qualunque gruppo G,„ dà un gruppo della lp„ „ _, ; 

 per cui [.4]'^» insieme ad un qualunque gruppo G„ dà un gruppo di Ap„^+„^, 



ossia [^j'*^' è apolare rispetto ad \p„^^„ . 



Sa si corrispondono projettivamente i gruppi di due involuzioni Ì-P„^_i,lp„^,i, 



contenute in una stessa forma, vi sono mi + m, elementi, e solamente mj+mj, 

 ciascuno dei quali appartiene a due grtippi corrispondenti. Un elemento r-plo per 

 un grtippo di una delle due involuzioni e s-plo per il gruppo corrispondente delV altra, 

 se r^s, è s-plo per il gruppo degli elementi che appartengono a due gruppi cor- 

 rispondenti. 



146. — Una corrispondenza determina due corrispondenze congiunnte 



j^ms(»2i — 1) , mj — l)j , [^«?i(mj — 1), ?»,(jnj — 1)J J24{ ciascuna delle quali, insieme 

 alla identità contata rispettivamente e »«, volte, è risultante della corrispondenza 

 data e della sua inversa, dunque: 



Sono proiettive le corrispondenze congiunte ad una data corrispondenza pro- 

 iettiva di 1° rango. 



XVI. 



I gruppi polari ed i gruppi armonici, 

 nelle forme geometriche fondamentali di 1^ specie. 



147. — Un gruppo G„ di elementi di una forma si può sempre considerare, 

 ed in un modo solo, come costituito dagli elementi M-pli di una Ii>„„_, La involuzione 



•'-PhIa „_A_i » polare di un gruppo G;j rispetto alla Ip,,,,,,, , possiede n — li elementi 

 (w— A;)-pli che si chiamano poli di G^j rispetto a G„; il loro gruppo si chiama gruppo 

 polare di G^j rispetto a G„ e si può indicare con il simbolo G * . 



