DI RICCARDO DE PAOLIS 579 



Se consideriamo tutti i possibili gruppi [A*] [-4'^']'"'^*^, essendo 



costanti i numeri r ed w, , e se al gruppo A* ...A facciamo corrispondere il 

 gruppo degli m^=« - k poli di (J^, cioè il gruppo G„'Li,, abbiamo una corrispondenza 

 projettiva [mj, «j^] di rango r — 1 e di ordine n. 



148 — Se Gi,^=G(^,(}^', , dalla sua stessa definizione discende che il gruppo polare 



Q . . G 



G,'l/ è il gruppo polare di una parte di rispetto al gruppo GniV polare 

 dell'altra parte . 



Un elemento A contato 1,2,...,« — 1 volte deterinina w — 1 gruppi polari 



successivi G::_;,Grj,, ...,Gr che distin gueremo dicendo che sono rispettivamente 



il 1°, 2", ... , (n — 1)'"" gruppo polare di È^, ovvero il gruppo polare di A del grado 

 n- 1, n — 2, .... 1 . 



149. — Un gruppo apolara» rispetto ad una li^„ „_, lo àìrQmo gruppo apolare 

 rispetto al gruppo G„ dei suoi elementi n-pli. Per indicare che G;^ è apolare rispetto 

 a G„ possiamo servirci del simbolo G^ > G„ . 



Se k + k'^n e se G^ è apolare rispetto al gruppo GJ^,^, ^ polare di G^, rispetto 

 ad un dato G,„ G/c è apolare rispetto al gruppo G,,!^, polare di G* rispetto a G„ (102). 



Se un gruppo G^ è apolare rispetto a p4-l gruppi che individuano una Ipn^, 

 è apolare rispetto a ciascun gruppo della \p„^ (103). 



Se G^ è apolare rispetto a ciascun gruppo della I^j,, ^ si può dire che G;^ è apolare 

 rispetto alla I^),, ^ ed allora possiamo scrivere G^ > Ij?„ ^ . 



Se (3+1 gruppi che individuano una ^Pk,, sono apolari rispetto al un dato 

 G„, ciascun gruppo della Ij)^ ^ è apolare rispetto a G„ (103). 



Se ciascun gruppo della Ip;.. ^ è apolare rispetto a G„ si può dire che la \pk,, 

 è apolare rispetto a G„ ed allora possiamo scrivere l23;^p>G„. 



Se G;(>G„, rispetto a ciascun gruppo G„i'^, polare rispetto a G„, c apolare 

 il gruppo degli elementi di G^ che non appartengono a G^i/ (104). 



Tutti i gruppi G„ rispetto ai quali è apolare un dato G^ costituiscono una 

 (105). 



Se f>' = n — (|2 + 1) (n — k + 1) , tma data Ì-P/,^^ è apolare rispetto a tutti i gruppi 

 di una lp„^^', e rispetto ad essi soli (105). 



È apolare rispetto ad un gruppo G„ ogni gruppo che contiene come parte un 

 gruppo apolare rispetto a G„ (102). 



Un elemento è s-plo per un dato gruppo G„ se rispetto ad esso è apolare 

 contato n — s-f-1 volte, e viceversa (118). 



Se un elemento è apolare contato n — s + l volte risp3tto ad una IiJ„,„_i è pure 

 apolare contato n — s+1 volte rispetto a tutte le involuzioni polari Ii>„_,,„_/_i , se 

 n — t^n — s+l, cioè se t^s—i. Ora n — s + l = {n — t) — [s — ^) + 1 , dunque: 



Un elemento s-plo per un gruppo G„ è {s—t)-plo per ciascun gruppo polare 

 di grado n — t rispetto a G„. 



Se un elemento è apolare contato n — s+1 volte rispetto ad una Ip„ „_i è 

 apolare contato h volte rispetto alla ^pI'^J^_1 Ne segue che: 



Se un elemento è s-plo per un gruppo G„, è s-plo per tutti i suoi gruppi 

 polari di ordine ^s. 



