DI RICCARDO DE' PAOLIS 581 



gruppo della Ii?„j-i.i e (5 — l)-plo per ciascun gruppo della quindi la lp„^-i , 



contiene una Jp„^_^ i, i cui gruppi insieme a [O]"^"' dànno i gruppi della Ì2\~ì,ì' e 

 la Ii5„^_i,i contiene una Ii)„^_,,i, i cui gruppi insieme a [0]'~^ dànno i gruppi della 

 IKj-i.i- I^e li'.ij-r,». IPii,-!.! si corrispondono projettivamente e ciascun elemento di un 

 determinato G„^+„^_r-i è comune a due gruppi corrispondenti. Il gruppo G„^+„^_^_^ 

 contiene 0, perchè è r-plo per il suo gruppo polare rispetto a G,,^ e 5-plo per 

 il suo gruppo polare rispetto a G,,^, e quindi è comune a due gruppi corrispon- 

 denti delle Ip„^_,. i, Ijp„j_,.i. Ne segue che tolto si hanno Wj + Wj — r — s — 1 ele- 

 menti di G„^+„^_r_,, i quali sono i soli elementi- del gruppo jacobiano distinti da 0, 

 per cui per il gruppo jacobiano è multiplo secondo il numero (wi-f Wj)— («i+w»— r— s— 1) 

 = r-{-s — 1. 



Gli elementi comuni ai gruppi polari di uno stesso elemento rispetto a due 

 dati gruppi G„^ , G,,^, situati sopra una stessa forma, costituiscono il gruppo jaco- 

 biano di G,,^, G,,^, che è di grado n, + nj — 2, e sono gli elementi che rispetto a 

 G,,^, G,,^ determinano uno stesso polo di 1° grado (132). 



Un elemento r-plo per G„^ e s-plo per G„^ è (r + s — \ )-plo per il loro gruppo 

 jacobiano. 



A A 



Se G„_,, G'„_i sono i gruppi polari di un elemento A rispetto a due gruppi 



A A 



G„, G'„, contenuti in una stessa forma, la Ii)„_, 1 individuata da G„_,, G'„_, è costi- 

 tuita dai gruppi polari di A rispetto ai gruppi della l2)„ 1 individuata da G„, G'„. 

 Ne segue immediatamente che due qualunque gruppi della Ip,, j hanno lo stesso gruppo 

 jacobiano Gj(„_i), il quale perciò si può dire gruppo jacohiano della Ip„^i. 



Sia un elemento di Gs(„_i) e sia G'„ il gruppo della Ip,, ^ che lo contiene. Deve 

 esistere un elemento A, i cui gruppi polari rispetto a tutti quelli della I^?,, 1 devono 

 contenere 0. Se ^ e coincidessero, coinciderebbe con uno dei suoi poli di grado 

 n — 1 rispetto a ciascun gruppo della Ip,,^!, per cui tutti questi gruppi conterrebbero 



0, e la Ij?,, 1 si spezzerebbe; possiamo dunque escludere questo caso. Il gruppo G'„'_i 

 deve contenere 0, quindi A deve essere il polo di primo grado di rispetto a G'„; 

 ma essendo un elemento di G',„ anche è polo di primo grado di rispetto a 

 G'„ ; dunque contato n — 1 volte è apolare rispetto a G'„ , cioè è doppio per G'„ . 

 Resta così dimostrato che ogni elemento di Gj(„_i) è doppio per la lp„^i . Viceversa 

 supponiamo che sia doppio per un gruppo G'„ della Jp„ i. Se ^ è il polo di primo 

 grado di rispetto ad un gruppo G„ della Ip„,i , è un elemento del gruppo 



G^_i (152); ma è anche un elemento del gruppo G'„_i (1^)2); dunque appartiene 

 a G2(„_i). Eesta così dimostrato che ogni elemento doppio per la Ip„ 1 appartiene al 

 gruppo G.>(,._,). 



Se è r-plo per un gruppo della I|?„ 1 e se la lp„j non si spezza, non 

 appartiene ad un altro suo gruppo ed è quindi {r — l)-plo per Gj(„_i). 



Il gruppo jacobiano di una lp„ i è costituito dai suoi 2(n — 1) elementi doppi. 

 Un elemento v-plo per un gruppo della Ip„ 1 è (r — l)-plo per il suo gruppo jacobiano. 



