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LE CORRISPONDENZE PROJETTIVE 



154. — I primi gruppi polari rispetto ad un dato G„ costituiscono una j, 

 la quale possiede un gruppo jacobiano G,(„_,) che si dice gruppo hcssiuno di G„. Il 

 gruppo hessiano di un gruppo dato non è dunque altro che il gruppo jacobiano della 

 involuzione dei suoi primi gruppi polari, ovvero anche il gruppo degli elementi che 

 sono doppi per un primo gruppo polare (155), ovvero anche il gruppo degli elementi 

 i cui poli di secondo grado coincidono. Il gruppo G's(„_jj di questi poli di secondo 

 grado si dice gruppo steineriano del gruppo dato. 



Se è r-plo per G„, è (r — l)-plo per ciascun gruppo della Ip„_,^i, la quale 

 perciò contiene come parte una lp„_r_i. 11 gruppo jacobiano Gj(„_^_,) di questa invo- 

 luzione non contiene e contiene tutti gli elementi di Gjj,,.,) distinti da 0. Essendo 

 2(n — 2) — 2(u— r — 1) = 2 (r— 1), ne segue che è 2(r — l)-plo per Gj(„_,) . 



Gli elementi che sono doppi per un primo gruppo polare rispetto ad un gruppo 

 dato G„ costituiscono il suo gruppo hessiano, che è di grado 2 (n — 1), e sono gli 

 elementi i cui poli di secondo grado rispetto a G„ coincidono. 



Un elemento r-plo per G„ è 2 {r — l)-plo per il suo gruppo hessiano. 



155. — Due gruppi G„,G'„ li diremo ormoMzc/, se sono armoniche le Ip,, „_, , 

 l'p„„_^ i cui elementi n-pli sono quelli di G„,G'„. Per indicare che questi gruppi 

 sono armonici possiamo scrivere G„ > G'„ , ovvero anche G'„ > G„ . 



Essendo Ii)„,,._, > I'2>»„,„_i la ip„,n-i contiene G'„ e la Tp'„ contiene G„ . Ne 

 segue che se G„=G„/G„,/ la I'iJ„,f„„_, polare di G„/ rispetto alla l'^,, ,.., contiene G„-, 

 e quindi, se Ì-P„"^„"^i è la involuzione i cui elementi w"-pli sono quelli di G„.-, è 



G G 



liV' n"-i ^ 'V„" „"-! • ^® ^ g^'i^PPo ^^o^^ elementi n"-pli della l'pj^^„_^, 

 si ha G,,'/ > G'„/' ; ma G'„v è il gruppo polare di G„, rispetto a G'„ ; dunque se G„ > G'„ 

 il gruppo polare di n' elementi di G„ rispetto a G'n è armonico rispetto al gruppo 

 dei rimanenti n" elementi di G„ . Viceversa supponiamo che il gruppo G'„./ , polare 

 rispetto a G„ del gruppo G„/ di n' elementi di G„, sia armonico al gruppo G„., 



degli elementi rimanenti. Allora G„v appartiene alla involuzione ^'l\"„„_^ , polare 

 di G„/ rispetto alla Vp„ „_^ i cui elementi «-pli sono quelli di G'„, quindi la I'j)„ „_, 

 contiene G„, è armonica alla l2^„,„_i i cui elementi n-pli sono quelli di G„ , e perciò 

 0,.>G'„. 



Se due gruppi G„, G'„ sono armonici, il gruppo polare di n' elementi di uno 

 G„ risp etto all'altro G'„ è armonico al gruppo dei rimanenti n — n' ehme7iti di G„, 

 e viceversa. 



Se prendiamo n'=n -'ì , e quindi «"=1, abbiamo che: 



Se due gruppi G„,Cr'„ sono armonici, un elemento di uno G„ è il polo di primo 

 grado dei rimanenti n — 1 elementi rispetto all'altro gruppo G'„, e viceversa. 



Un gruppo G„ di ordine n dispari è sempre armonico rispetto a sè stesso (93). 



156. — I teoremi seguenti si deducono immediatamente dagli analoghi che 

 abbiamo già dimostrato e che si riferiscono agli aggruppamenti ed alle involuzioni 

 projettive armoniche. 



-S'è p + 1 gruppi che individuano una Ip„ , sono armonici ad uno stesso gruppo 

 G„, ogni gruppo della Ip„ p è armonico a G„ (89). 



