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Gesa rn rntsit zung 



16. Juli. Gesa mmtsi tzung der Akademie. 



Hr. Kummer las iiber die Flachen vierten Grades^ 

 auf welchen Schaaren von Kegelschnitten liegen. 



Die allgemeine Untersuchung aller Flachen vierten Grades, 

 auf welchen Schaaren von Kegelschnitten Statt haben, und wel- 

 che darum als durch Bewegung eines veranderlichen Kegelschnitts 

 entstanden betrachtet werden konnen, stUtzt sich hauptsachlich 

 auf folgenden Satz: 



Wenn eine Ebene aus irgend einer Flache 

 eine Curve mit Doppelpunkten ausschneidet, 

 so ist jeder dieser Doppelpunkte entweder 

 ein Doppelpunkt der Flache, oder ein Beriih^ 

 rungspunkt der Ebene und der Flache. 

 Unter Doppelpunkten einer Curve oder Flache sind bier alle die- 

 jenigen singularen Punkte zu verstehen, fiir welche die ersten 

 Ableitungen gleich Null werden; eine continuirliche Reihe sol- 

 cher Doppelpunkte auf einer Flache bildet eine Doppelpunkts- 

 curve derselben. Der Begriff der Beriihrung ist im engeren 

 Sinne gefafst, so dafs nicht jede durch einen Doppelpunkt einer 

 Flache gehende Ebene als eine in diesem Punkte beriihrende an- 

 gesehen wird, sondern nur diejenigen Punkte als eigentliche Be- 

 riihrungspunkte gelten, deren unendlich nahe Punkte nach alien 

 Richtungen bin als zugleich auf der Flache und der Ebene lie- 

 gend zu betracbten sind, in so fern in denselben die Abstande 

 der Flache von der Ebene unendlich kleine Grofsen hoherer Ord- 

 nungen sind. 



Wenn eine Ebene aus einer Flache vierten Grades einen 

 Kegelschnitt ausschneidet, so mufs sie zugleich noch einen zwei- 

 ten Kegelschnitt ausschneiden. Ein solches Kegelschnittpaar, als 

 Curve vierten Grades betrachtet, hat nothwendig vier Doppel- 

 punkte, welche real oder imaginar, oder auch unendlich entfernt 

 sein konnen, und von denen auch zwei oder mehrere in einen 

 zusammenfallen konnen, wenn die beiden Kegelschnitte sich be- 

 riihren. Zerfallt einer dieser beiden Kegelschnitte in zwei grade 

 Linien, so sind fiinf Doppelpunkte vorhanden, und wenn beide 

 Kegelschnitte in grade Linien zerfallen, so bilden sie sechs Dop- 

 pelpunkte. Umgekehrt, wenn eine Ebene aus eioer Flache vier- 



