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die Flache dreifach beriihrt und wo sie die Flache in einer 

 graden Linie beriihrt; die dreifach beriihrenden Ebenen, welche 

 hier nur solche sein konnen , die durch eine auf der Flache lie- 

 gende grade Linie gehen, ergeben aber keine bemerkenswerthen 

 Schaaren von Kegelschnittpaaren auf Flachen vierten Grades, 

 und eine Schaar von Ebenen, welche in einer ganzen Linie be- 

 riihren, findet nur auf den abwickelbaren Flachen vierten Grades 

 Statt, von welchen unmittelbar klar ist, dafs eine jede ihrer Tan- 

 gentialebenen aufser einer graden Doppellinie noch einen Kegel- 

 schnitt ausschneidet. 



1. Die Flachen vierten Grades, aus welchen Schaaren von 

 nicht beriihrenden Ebenen Kegelschnitte ausschneiden. 



Wenn eine Schaar von Ebenen, welche eine Flache vierten 

 Grades nicht beriihren, aus derselben Kegelschnittpaare ausschnei- 

 den soil, so mufs jede Ebene dieser Schaar nothwendig durch 

 vier Doppelpunkte der Flache hindurch gehen. Ist nun keiner 

 dieser vier Doppelpunkte fur alle Ebenen der Schaar derselbe, 

 sondern alle vier Doppelpunkte von einer Ebene zur andern ver- 

 anderlich, so mufs die Flache vierten Grades nothwendig eine 

 Doppelpunktscurve vierten Grades haben. Hieraus folgt weiter, 

 dafs alle beliebigen, auch jener Schaar nicht angehorenden Ebe- 

 nen aus der Flache Curven mit vier Doppelpunkten, also Kegel- 

 schnittpaare ausschneiden miissen, dafs also die Flache vierten 

 Grades nur aus zwei Flachen zweiten Grades bestehen kann. 



Ist einer der vier Doppelpunkte fiir alle Ebenen der Schaar 

 derselbe, so miissen die drei anderen, von einer Ebene zur an- 

 dern veranderlichen Doppelpunkte eine Doppelpunktscurve dritten 

 Grades fiir die Flache bilden, welche diesen einen festen Dop- 

 pelpunkt der Flache nicht enthalt; es miissen darum alle durch 

 diesen feslen Punkt gehenden Ebenen Curven vierten Grades 

 mit vier Doppelpunkten, also Kegelschnittpaare ausschneiden, 

 welches nach dem oben aufgestellten Satze nur dann nioglich 

 ist, wenn die Flache vierten Grades aus zwei Flachen zweiten 

 Grades besteht, oder wenn sie eine Kegeiflache ist. 



Sind von den vier Doppelpunkten, welche jede Ebene der 

 Schaar aus der Ffache vierten Grades ausschneiden soil, zwei 

 fiir alle Ebenen dieselben und nur zwei von einer Ebene zur 

 andern ver'anderlich, so mufs diese Flache aufser den zwei festen 



