vorn 16. Ju/i 1863. 



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Doppelpimkten , durcli vvelche alle Ebenen der Schaar hindurch- 

 gchen, noch eine Doppelpunktscurve zweiten Grades haben ; und 

 umgekehrt, wenn sie eine Doppelpunktscurve zweiten Grades 

 und aufserdem zwei einzelne Doppelpunkte hat, so schneiden alle 

 durch diese beiden festen Doppelpunkte gehenden Ebenen Cur- 

 ven mit vier Doppelpunkten aus der Flache aus, also Kegel- 

 schnittpaare, wenn nicht etwa die Verbindungslinie beider Dop- 

 pelpunkte durch die Doppelpunktscurve hindurchgeht, in welchem 

 Falle diese Verbindungslinie eine auf der Flache liegende grade 

 Linie sein miifste. Man hat also folgenden Satz: 



Alle Flachen vierten Grades mit einer Dop- 

 pelpunktscurve zweitenGrades und zwei ein- 

 zelnen Doppelpunkten, deren Verbindungs- 

 linie nicht durch die Doppelpunktscurve hin- 

 durchgeht, werden von der Schaar der durch 

 die beiden Doppelpunkte gehenden Ebenen 

 in Kegelschnittpaaren geschnitten. 

 Die allgemeinste Form der Gleichung fiir alle Flachen vier- 

 ten Grades, welche eine ebene Doppelpunktscurve zweiten Gra- 

 des haben, ist: 



•wo (p und 4^ ganze rationale Funktionen zweiten Grades sind, 

 und p eine lineare Funktion der drel Coordinaten. Nimmt man 

 m derselben 4^ als Produkt zweier linearen Funktionen 7 und r, 

 so erhalt man 



und dieses ist die allgemeinste Form der Gleichung aller Fla- 

 chen vierten Grades, welche aufser der Doppelpunktscurve zwei- 

 ten Grades noch zwei Doppelpunkte haben, deren Verbindungs- 



I linie nicht eine auf der Flache liegende grade Linie ist. Die 

 Curve (^ = 0, p = o ist die Doppelpunktscurve zweiten Grades, 



I und die beiden Durchschnittspunkte der graden Linie v = o, r = o, 

 mit der Flache zweiten Grades = 0, sind die beiden Doppel- 

 punkte der Flache vierten Grades. Alle durch die Axe y = 0, 

 r = gehenden Ebenen schneiden Kegelschnittpaare aus der 

 Flache aus , die beiden Ebenen 7 = und r = schneiden Ke- 

 gelschnittpaare aus, die sich decken, und sind singulare Tangen- 



