vom 16. J^u/i 1863. 



329 



and mit dem Namen Cy elide belegte Flache, deren beide Schaa- 

 ren von Krummungslinien Kreise sind. Die Doppelpunktscurve 

 zweiten Grades liegt bei derselben im Unendlichen, und von den 

 vier einzelnen Doppelpunkten sind stets zwei imaginar, die bei- 

 den anderen aber konnen real sein. Die Gleichung dieser Fla- 

 che kann in folgende einfache Form gesetzt werden: 



= V{ax - eky -i-b'jr^^ V(ecc - aky - z\ 



Die allgemeine Untersuchung fiihrt nun weiter zu dem Falle, 

 wo die Schaar von Ebenen, welche Kegelschnittpaare aus der 

 Flache vierten Grades ausschneiden soUen, durch drei oder meh- 

 rere feste Doppelpunkte der Flache hindurchgeht. Fine Schaar 

 solcher Ebenen kann aber nur dann Statt haben, wenn alle diese 

 Doppelpunkte in grader Linie liegen, welche eine grade Doppel- 

 punktslinie der Flache ist. Dieser Fall giebt unmittelbar folgen- 

 den Satz: 



Aus einer jeden Flache vierten Grades, wel- 

 che eine grade Doppe Ipunktslinie hat, schnei- 

 den alle durch dieDoppelpunktslinie geleg- 

 ten Ebenen Kegelschnitte aus. 



Die Gleichungen der Flachen dieser Kategorie sind alle in fol- 



gender Form enthalten: 



wo cp, cp^, (p2 beliebige Funktionen zweiten Grades, p und g 

 lineare Funktionen der Coordinaten sind , p = 0, g = ist die 

 Linie der Doppelpunkte. 



Endlich bleiben bier noch die Falle zu untersuchen, dafs 

 von den vier Doppelpunkten der Kegelschnittpaare, welche von 

 ciner Schaar von Ebenen ausgeschnitten werden sollen, zwei 

 oder mehrere in einem, oder in zwei festen Punkten vereinigt 

 sind, in welchen diese Kegelschnittpaare sich beriihren. Die 

 voUstandige Erorterung aller dieser Falle ergiebt zun'achst nur 

 eine speciellere Flache der bereits gefundenen Art (p^=Ap^gr, 

 mit einer Doppelpunktscurve zweiten Grades und zwei Doppel- 

 punkten, n'amlich diejenige , in welcher die beiden Doppelpunkte 

 unendlich nahe an einander liegen, aufserdem aber fiihrt sie auf 

 eine neue merkwiirdige Art von Flachen vierten Grades, auf 



