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Gesammtsitzung 



welchen eine Schaar von Kegelschnittpaaren liegen, die einen 

 doppelten Contakt haben. Es sind diefs die Fl'achen vierten 

 Grades, welche in zwei verschiedenen Punkten sich selbst be- 

 riihren. Legt man n'amlich durch die beiden Selbstberiihrungs- j 

 punkte einer soichen Fl'ache irgend eine Ebene , so scbneidet 

 dieselbe eine Curve aus, welcbe in diesen beiden Punkten sich 

 selbst beriihrt; eine Curve vierten Grades kann aber nicht zwei 

 Punkte der Selbstberiihrung haben, aufser wenn sie aus zwei 

 Kegelschnitten besteht, man hat also folgenden Satz: 



Die Flachen vierten Grades, welche in zwei 

 verschiedenen Punkten sieh selbst beriihren, 

 haben die Eigenschaft, dafs alle durch die 

 beiden Selbstb eriihrungs punkte gehenden 

 Ebenen aus ihnen K egels chn ittpaare aus- 

 schneiden, welche sich in diesen beiden 

 Punkten beriihren. 

 Die allgemeinste Form der Gleichung fiir diese Art von Fla- 

 chen ist: 



WO (p eine Funktion zweiten Grades ist, p und q lineare Funk- 

 tionen und o, 6, c, rf, e Constanten. Die beiden Punkte, in 

 denen diese Fl'ache sich selbst beriihrt, sind die Durchschnitts- 

 punkte der graden Linie /d = o, 9=0 mit der Flache zweiten 

 Grades ^ = 0. Alle Ebenen des Biischels /7-f->.9 = schneiden 

 Kegelschnittpaare mit doppeltem Contakt aus der Flache aus, die 

 vier Ebenen aber, in welche der Ausdruck vierten Grades 



ap" fibp^qH-ecp^q"^ -i- Adpq^ -heq'' =0 



zerfallt werden kann schneiden aus der Flache Kegelschnittpaare 

 aus, die sich vollstandig decken, sie sind also singul'are Tangen- 

 tialebenen der Flache, welche dieselbe in diesen Kegelschnitten 

 beriihren. Eine Doppelpunktscurve hat diese Art von Flachen 

 im allgemeinen nicht, sondern nur in dem speciellen Falle, wo 

 zwei der vier singul'aren Tangentialebenen sich zu einer vereini- 

 gen, d. i. wenn jener Ausdruck vierten Grades zwei gleiche 

 lineare Faktoren hat. 



