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G esammtsit zung 



Unlersucht man nun die besonderen Falle, erstens , wo dic( 

 Doppelpunktscurve dritten Grades eine Curve doppelter Krum-| 

 mung ist, zweitens, wo sie aus einem Kegelschnitt und einei| 

 graden Linie besteht, und drittens , wo sie aus drei graden Li- 

 nien besteht, so findet man: 



Alle Fl'achen vierten Grades, welche eine Curve doppelter 

 Krummung vom dritten Grade zur Doppelpunktscurve haben, 

 sind nothwendig gradlinige Flachen. 



Einen Kegelschnitt und eine gerade Linie als Doppelpunkts- 

 curven kann eine Flache vierten Grades nur dann entbalten, 

 wenn die grade Linie den Kegelschnitt in einem Punkte schnei- 

 det; alle Flachen dieser Art sind aber ebenfalls nur gradlinige. 



Drei grade Doppelpunktslinien konnen Flachen vierten Gra- 

 des nur in folgenden drei Fallen enthalten, erstens, wenn diese 

 drei graden Linien, in eine zusammenfallend, eine dreifache Linie 

 der Flache bilden, zweitens, wenn zwei dieser graden Doppel- 

 punktslinien nicht in einer Ebene liegen, die dritte aber diese 

 beiden schneidet und drittens, wenn alle drei graden Doppel- 

 punktslinien durch einen und denselben Punkt gehen. Der erste 

 und zweite dieser Falle kann aber wieder nur bei gradlinigen 

 Flachen Statt haben, es bleibt daher nur der eine Fall iibrig, 

 wo die drei graden Doppelpunktslinien durch einen und densel- 

 ben Punkt gehen, in welchem die Flache vierten Grades im alU 

 geraeinen nicht eine gradlinige ist. Also: 



Die Flachen vierten Grades, welche drei 

 durch einen und denselben Punkt gehende 

 grade Doppelpunktslinien besitzen, haben die 

 Eigenschaft, dafs alle Tangentialebenen aus 

 denselben Kegels chnittpaare aus s chneiden. 

 Die allgemeinste Form der Gleichung dieser Flachen ist: 



^^2^2 -f- Br^p^ -h- Cp^q^ iBpqrs = 0, 



wo /?, 7, r, s beliebige lineare Funktionen der Coordinaten sind, 

 und jB, C, D beliebige Constanten. Die drei Ebenen p = o, 

 ^ = 0, r = sind diejenigen, deren drei Durchschnitlslinien die 

 Doppelpunktslinien der Flache sind, der Durchschnittspunkt der- 

 selben /o = 0, 7 = 0, r = ist ein dreifacber Punkt der Flache. 

 Auf dieser Flache liegen unendlich viele Schaaren von Kegel- 



