vom 23. Juli 1863. 



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reprasenlirt werJen kann. Ware diefs der Fall, so miifsten in- 

 nerhalb der Theorie der complexen Zahlen in die idealen 

 Primfactoren von c/j(c/; -f- ou~') mit denen von /(uj) also auch 

 mil denen von iibereinsliramen ; die beiden conjuglrten 



wirklichen Zaiilen /(oi) und /(ou~') konnten sich also nur durch 

 eine Einheit von einander unterscheiden. Es miifste also: 



= e(oc) . f('jj) und defshalb auch: e (uo) . e (u," ^ ) = i sein. 

 HIeraus Tolgt vermoge des Satzes, welchen ich im 53sten Bande 

 des Journals fiir Mathematik pag. 173 bewiesen habe^ dafs ti(^) 

 nur eine einfache Wurzel der Einheit sein kann, und zwar, je 

 nachdem n grade oder ungrade ist, eine nte oder 2nle Wur- 

 zel der Einheit, da keine andre sich rational durch m darstellen 

 lafst. Fiir ein grades n miifste also entweder die Gleichung: 



/(c.-') = ^2^/(:.) 



oder die Relation: 



bestehen, in welcher r eine ganze Zahl bedeutet. Fiir ein un- 

 grades n aber miifste /(u;~') = ±ot;^ -fi^)-, also, da in diesem 

 Falle h^2r mod. n gesetzt werden kann, wiederum entweder: 



oder: 



sein. Es sind demnach im Ganzen nur drei verschiedene Rela- 

 tionen zwischen f{'jj) und /(oy~') zulassig. 



Fande nun erstens die Gleichung: f(uj~^) = M^'.f(oo) 

 statt, so wiirde bei der Verwandlung von w in a,"' 



ungeandert bleiben d. h. es ware eine aus den zweigliedrigen 

 Perioden: oo -h (jo~\ ot;"'^, .... zusammengesetzle ganze 



complexe Zahl. Bezeichnet man eine solche mit: F(oo-f-6y~'), 

 so hatte man also die Gleichung: 



I /('jj)=z 'jj-' . F(ou^-c«;-') 



Legt man zweitens fiir den Fall, dafs n grade ist, die 

 Gleichung: /(w"' ) = j^^^ ./(m) zu Grunde, so folgt daraus, 

 wenn man 



