C)4 RÉFI.EXIONS SUR r.A PRÉFACE D UN MÉMOIRE DE LAGRANGE ETC. 



qu'on oblienl à l'aide des quotients ( indéfiniment ) , par la répétition de 

 leur période , suivant la mélhode donnée par Eulf.r en 1^65. R. Simson 

 n'a pas reconnu que , ayant les deux premiers nombres p et q, il pouvait 

 former les fractions (per saltum) qu'il envisage, avec les formules 



X 



_ ( p - hq .\/jr+(p-.< ] .yjy 



_ (p^ q .]/jr^{p^ q .)/jr . 



en donnant à l'exposanl m des valeurs entières et positives impaires ou 

 paires, suivant que l'on a, p* — Aq* — — i , ou p 1 — Aq 1 = -+~ i . Au lieu 

 de ces formules, R. Simson a remarqué, que le produit (x x — Aj 1 )(x' — Aj' ) 

 rtant égal à (xx'zizAjj'f — A(y' xziz x'j) , l'on aura une troisième 

 solution 



X » % -Ay> Wi, 



en prenant 



II I . ÀI Il I . I 



x =xx z±zAjj • j —y xztzxf ; 



et -+- i , ou — i , pour le sècond membre de cette équation , suivant 

 que les deux facteurs du produit auront une valeur égale de méme signe, 

 ou de signe contraire. 



Cette remarque de R. Simson coincide avec le Lemme donne par 

 Lagrange à la page 46 de son Memoire. Elle constitue un théorème très- 

 important, qu'Eui-ER avait trouvé plus lard de son còte. Certes il n'avait 

 pas connaissance de ce Mémoire de R. Simson, lorsque, aux pages 26 

 et 27 du Tome IX des Novi Commentarli publié en 1764, il écrivait : 

 « Hinc ergo consecuti sumus hoc Thcorema eximium, quod fundamentum 

 a superiorum solutionum in se complectilur ....... cum sit 



» p — bb — a. .aa ; qz=.dd — a. ce ; 



» hinc erit 



» pq = (bb — u.aa)(dd — oc.ee) , 



» tjuae expressio reducitur ad hanc 



» pq = (bdzìz oc . oc) 1 — u (bc^zad)* » , 



ce qui revicnt à l'égalité que R. Simson avait trouve'e le premier. 



