L)b REFLEXIONS SUR LA PRÉFACE d'un MÉMOlRE DE LAGRANGE ETC. 



/^H-i =a-f- i 1/ ' , ia 



1/ «+ T =a+i 



— o+ i 



2fl+ 1 



2tf 



2 a -+- etc. ; 



2 a -4- i 



2A + etc 



doni la première s'applique faeilement à )/ 2 , ^ ^ > V 10 ? et ' a seconde 

 a )/3, )/77 . 



Quoiqu'il en soit sur ce point, il est cerlain , que ce Mémoire de 

 \\. Simson (antérieur à celui d'EuLER de 1765, et à celui de Lagrange 

 de 1768) avait signalé la connexion exisiente enlre les quantitès ration- 

 nelles obtenues par la réduction en fraclion continue de la racine carrée 

 des nombres entiers, et les nombres entiers x, y propres à fournir (en 

 nombre infini) les solutions de l'équation x 2 — Ay*=i. Il est vrai que, 

 de là, à la dèmonslration de Lagrange, sur la possibililé de la solution 

 de eette équation , en general, il y a un immense vide qu'il fallait 

 remplir. La dèmonslration d'EuLER , fondèe sur une induction fort en- 

 trainante, devient facilement rigoureuse en y faisant une lègère addition, 

 < 'est-à-dire en la prèsentant cornine Legendre dans sa i. òre èdition (de 1797) 

 de la Thèorie des Nombres. Sur cela il faut observer que 



^ = 37g5i 64009 0681 1 93o63 80148 96080 ; 



q-=. i2o5 57357 9o33i 35954 744 2 ^ 38767 ; 



ttant les plus petites valeurs de x et j qui l'ésolvent l'équation 



x% — 99 r -.r l = » , 



il est manifeste que le principe de l induction nest pas à 1 abri de toute 

 objcction en pareil cas ; ce qui mct dans son plein jour, que la de- 

 monstration d'EuLER , présentèe par Legendre, était indispensable. Elle 

 me parait tout-à-fait rigoureuse pour la racine carrée des nombres entiers: 

 et la remarque critique de Lagrange, publice en 1770 à la page 1 4^ 

 du Volume de l'Acadèmie de Berlin pour l'année 1768 a cessè de lui 

 étre applicàbile, après la démonstralion que Le<;enore, en 1 797 ^ avai' 



x 



donne (au § XII de sa Théorie des Nombres) « que la fraction — est 

 toujours comprise panni les Tractions convcrgcnles vers \ A » . 



