98 RÉFLF.XIONS SUR LA PRÉFACE d'un MÉMOIRE DE LAGRANGE ETC. 



D'après cela, il est évitlent que l'aberration des quotients 2, 8, 4, 

 i, 3 des véritables 1 , 4? 2 ? 1 > 3, 2 > 20 ne sauraìt étre un 

 obstacle pour trouver les deus nombres p = 8890182, ^ = 85i525 qui 

 donnent p 1 — 1 09.^7 2 = — 1. Après cela on forme facilement les nom- 

 bres p' et q' qui donnent p — log.g' =-+- 1 , en posant p '= 2 £»*•+- 1 ; 



Mais il est manifeste qu un tei procede' ne serait pas 'appliquahle 

 à I/99 1 sans avoir cctte racine avec un très-grand nombre de chiffres 

 décimales. Cela n'empéche pas que la démonstration de Lagrakge sul- 

 la possibilité, en general, de l'équation x' — Ay % — 1 ne soit rigoureuse. 

 fi faudra seulement la faire preceder de la condition , que les quotients 

 de la fraction continue doivent étre obtenus par la méthode generale, 

 et non par la réduction en fraction continue de la racine obtenue avec 

 un nombre déterminé de chiffres décimales. 



Pour expliquer l'espèce de lacune laissée par Lagrange dans son Mé- 

 moire j il faut se rappeler que le 24 novembre de la ménte année 1768 

 il avait presente à l'Académie de Berlin un nutre Mémoire « Sur la 

 » solution des problèmes indéterminés du second degré » où il exposait 

 sa The'orie generale de la solution des équations du second degré en 

 nombres entiers. Et cette solution offre une démonstration beaucoup plus 

 complète sur la possibililé de l'équation x 2 — J V 2 = 1 (Voyez les pages 

 272-274 du Volume de l'Académie de Berlin pour l'année 1767). C'est 

 là qu'on lit ce passage : 



« J'avais déjà donne ailleurs (Voyez le 4- eme Tome des Mémoires de 

 la Société de Turin) une démonstration de celte proposilion , que tonte 

 équation de la forme 1 — ^(fy B> étant positif non carré, est tou- 

 jours possible en nombres entiers d'une infinite de manières; et j'y avais 

 aussi joint une méthode generale pour trouver en mème temps toutes 

 les solutions dont une Ielle équation peut étre susceptible: celle que je 

 \iens de donnei- (qui date du 24 novembre 1768) est non-seulement 

 plus directe et plus simple, mais elle a encore l'avantage de faire voir 

 que l'équation, dont il s'agit, est toujours résoluble quel que soit B, ce 

 que je n'avais pu démontrer alors (le 20 septembre 1768) que par un 

 assez long circuii ». 



En rapprocliant ce Mémoire, imprimé à Berlin, de celui imprimé à 

 Turin, on concoit que Lagrange a continué ses recherches sur la réso- 

 Iuiion de l'équation x 1 — i/=i, et sur la Théorie des fractions 



