en désignant par 



PAR J. PLANA IO f 



I % (k) =J 4 — D w . D {k _ J ) ; 



^(*-n) ==a (*)A*) — *(*) ' 



(*) 



un quotient-eomplet quelconque, correspondant au quolìent entier <x^ k) , 

 et se rappelant que, en posant A=a 1 -+-b, l'on a: 



a^-=z-j- (en prenant seulement la partie enliere) ; 



Sans la connaissance de ces formules génerales, il est facile de démontrer 

 a priori que la quantité 



■ ' v J = 2 « H 



7(0 a 



est la limite des nombres entiers p* w — Aq 1 ^. G'est en mettant cette 

 proprietà en évidence , que Lagratsge, au commencement de son Me- 

 rnoire , établissait l'existence incontestable d'un nonibre indéfìni de va- 

 leurs égales pour la difference x 1 — Aj 1 , en prenant pour x et y des 

 valenrs eonxenables dans la serie 



gjYj A*") ? ^ P(*»^s) ^ 



<J (o 7(*»+») ?(»»+») 



des fraetions convergentes vers , continuée indefìniment. 



Lorsqu'on forme Ics valeurs de et , en prenant pour p^ , q^ 

 les nombres nés de la re'duction en fraclion continue de la quantité 

 fraetionnaire obtenue par l'extraction de la racine carree da nombre A, 

 on reconnait bientòt que les eonditions D {k) <^2a , I, k ^<^a\ ne sont 

 pas remplies. Dans le cas de ^=109, par exemple, si l'on borne l'ap- 

 proximation à huit eilfres decimales, l'on a: 



,/ io44<>3o6 261 000 



1/ 1 00 = — P-^ — = — J - ; 



r J (io) 6 25oo« 



