I <>6 RÉFLEX10NS SUR r.A PRÉFACE d'un MÉMOIRE DE EAGRANGE ETC. 



B = Lx % — Aj ; 



>ù le noinbre B est délivré de tout facteur carré, et de tout facteur 

 romraun avec le nombre L, il faut distinguer deux cas : celui de 

 B<}/ LA , et celui de B>y~LA . Dans le premier cas, on réduil 



\f~AL 



eri I'raction continue la racine - y — de l'equation LX l — A ~ o ; et 



le noinbre B doit se trouver pai-ini les dénominateurs des quotients- 



complets, si l'equation est possible. Alors le nnmérateur de la fi-action 



convergente qui lui correspond donne la valeur de x , et le dénomi- 



nateur la valeur de y, 



Dans le second cas on fera x-=Nj — Bz , et on cherchera (si cela 



•il. i *r B i LN'—A 

 est possible) un nombre ( l ne ^ S01t un nombre 



entier. En désignant par ce nombre entier, il faudra réduire eri 



i'raction continue les racines de l'equation 



D [0) X*— 2LNX+B — , 



et voir si l'on rencontre Vanite parmi les dénominateurs des quotienls- 

 •omplets. Cette seconde condition étant remplie , le numérateur de la 

 I'raction convergente, qui lui correspond, donnera la valeur de j-, et le 

 dénominateur la valeur de z. La valeur de x-=.Nj — Bz sera par là 

 m.ssi connue. 



On trouve dans l'ouvrage de Legendre tous les développemens né-' 

 eessaires pour cette solution. Elle est due à Lagrange qui l'a donnée 

 dans le Volume de l'Académie de Berlin pour l'année 1 768 ( Lisez Ics 

 pages 233-24o ). 



A la page 92 du Tom. IV des Miscellanea Taurinensia il avait donne 

 une simple indication relative à la possibilité de cette équation. La 

 sphère de ces réflexions comporte seulement de faire observer, que le 

 théoréme énoncé au commencement de cette page offre un criterium 

 certain d'impossibililé absolue, lorsqu'il n'est pas vérifié. Alors il n'y a 

 aucun nombre N capable de rendre N % -^-J divisible par B. C'est une 

 proposition doni Lagrange a donne la démonstration à la page 282 du 

 Volume de. l'Académie de Berlin pour l'année irj&q. Mais cette condition 

 ne suffìt pas; elle pourrait ètre satisfaite et l'equation B = x 2 — Aj l 

 ètre néanmoins impossible. C'est de quoi l'equation 101 =x 2 — 79 \7'* 



