PAR J. PEANA I07 



offrc un exemple. lei l'on a 33* — 79=101.10; et cependant aneline 

 des deux racines de l'équation 



10.X 2 — 66 . AT-h 79 = o , 



réduites en fractions continues, presente un dénominateur égal à l'unite 

 dans la suite des qviotients-complets (*). Cette seconde condition n'est pas 

 énonce'e dans le Tome IV des Miscellanea Taurinensia\ Lagrange en a 

 l'ai t la découverte plus tard: on la trouve dans son Mémoire lu à l'Aca- 

 démie de Berlin le 21 juin 1770 ( Voyez les pages i83, 247-249 du 

 \ olume pour l'année 1768). Cesi dans ce Mémoire qu'on voit les efForts 

 de Lagrange couronnés d'un succès complet. Lui seul etait capable de 

 tirer un parti aussi avantageux de ses propres recherches et de celles 

 d'EuLER , et d'amener la solution de ce problème d'arithmétique a son 

 dernier terme de perfection. 



Pour mieux faire apprécier cette théorie je vais terminer ces Réflexions 

 en l'appliquant à l'équation 



101 =x 2 — 991.J 1 . 



lei le concours des deux conditions a lieu. En effet, si l'on prend iV = 48; 

 l'on a 4^ 2 — 991=101. i3, et 



i3 . X z — 96.X-T-101 =0 

 pour L'équation du second degré dont les racines sont 



A. 5 , A. 5 • 



1 6 — 10 



En réduisant la valeur de X' en fraction continue, 011 trouve que le 



(*) Néanmoina l'équation x* — 79. y 2 = 101. z 1 est résolublc en nombres enliers par quatre systèmes 

 <le formulcs absolument distincls. Le premier syslcme est tei que l'on a: 



x = i854 ■ p % -+■ 2286. q 1 -t- 3i26 . p q ; 

 y= ìfò.p 1 -+- 207.^*-+- tfii.pq ; 

 Z= lìo.p 1 — 135.^»-*- 3o.pq j 

 le second syslème est tei que l'on a; 



x= 927 .p 1 •+• 4572 . q 1 -+- 3i26. p q ; 



y= ik-p 1 -*- 4 » 4 • 7 a 4G2. /j ? i 



c = 65./)» — 270. q 2 -+- Zo.pq . 



Ou peut prendre « volonté les nombres enliers /) et q, positivement ou négativement. Donc, en 

 prenant pour p des valeurs positives, et pour q des \alcurs négatives, on formerà le troisieme et 

 le quatrième système de formulcs. À leur aide on oblionl loutes les svlutions rationndlcs dont l'équation 

 ioi=jc* — 79. y 1 est susccptible. 



