I I j MÉM0IRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES 



L'equa tion, fort remarquable par sa singularité , 



1.2.3.4 vi = 



. , m (ni — 1 ) . 



in — m (m — 1 )"' H i '-(ni — 2 ) ffl 



1.2 



m (ni — 1 ) (m — 2 ) . 



'-\ ''(m—Z) m — m( — 1 ) m , 



1.2.0 v 



vraie pour tout nombre entier ni, pair ou impair, a été signalée par 

 Euef.r, dès l'année 1755, comme un des résultals, obtenu dans la théorie 

 des différences , susceptible d'ètr-e applique au perfectionnement de la 

 The'orie des Nombres. Il pensait alors qu'une méthode « quae in con- 

 ) sideratione difFerentiarum continetur ad multa numero-rum arcana viam 

 » sit patefactura » (page 82 du Tome VII des Novi Commentarti Aea- 

 detniae Petropolitanae ). A celte idée originale d'EuxER, l'histoire de la 

 Science ajoutera celle, encore plus feconde, qui lui a fait découvrir les 

 propriétés des racines primitives des nombres premiers. L'étendue de ses 

 vues sur l'aritlimétique transcendante était à la fois vaste et inépuisable. 

 En 1770, dans le Tome XIV des Novi Commentava et vers les dernières 

 années de sa vie , il a signalé la suite infinie 



\ +x' -4-x' i -f-x 9 -4-x ,6 -+-^ l5 -4-etc. ; 



où les exposans de x sont les Carrés des nombres nalurels x, 2, 3, 4> etc, 

 cornine éminemment propre pour dcmOntrer, d'une manière sensible, 

 par le développement de sa quatrième puissance , un théorème capital 

 énoncé la première fois en 1 63 1 par Bachet dans son Cominentaire à 

 la Proposition 3i. ème du IY/ me Livre de Diophante: que tout nombre 

 entier est la somme de quatre, ou d'un nombre moindre de carrés. 

 Mais il y aAait là un obstacle insurmontable sans le secours des décou- 

 vertes postérieures faitcs par Jacobi, lesquelles, par la plus heureuse des 

 rencontres , ont révclé l'existence d'un encliaìnement entre la Théorie des 

 Trauscendantes elliptiques et la Théorie des Nombres. 



Après avoir obtenu des développemens fort dilTérens par leur forme 

 pour la mème fonction d'une variable, et remarqué que la sèrie 



/ x 2X 1 3 x 3 4 x ' \ 

 i-HcS 1 H jH r-4-etc. , 



\I X I -\-X I X i+x' / 



ordonitée suivant les puissances de x, devait, par son origine, devenir 



