PAR J. PLANA I ! 5 



identique au développemcnl de la fonction 



( I -+- 2 X+ 2 X^-h 2 x 9 H-2X ,6 -+-etc.)' i , 



Jacobi a pu trouver la loi de ce développement en imitant un procede 

 exposé pai- Eulkr dans le Tome V des Novi Commentarli. On verrà dans 

 ce Mémoire de quelle manière cette question se rattache à celle d'EuLER, 

 relative à la loi de la somme des diviseurs des nombres. 



La nouvelle application que je fais dans ce Mémoire de ce puissant 

 artifice analytique , à l'égard du carré de la sèrie 



i +x' + x i + x'+x l6 + jc"H-etc. , 



mettra dans toutc son évidence le théoréme de Fermat: que tout nombre 

 entier de la forme 4""+" 1 csl susceptible d'étre décomposé en deux 

 carrés d'une seule manière s'il est premier, et de plusieurs manières s'il 

 n'est pas premier. C'est aitisi, par exemple , que 73 =8 2 -f-3*; et que 

 85 =9* -+- 2 2 = 7 2 ■+- 6\ Il est satisfaisant pour un esprit qui étudie, en 

 philosophe, la Science des Nombres, de pouvoir affirmer que tout nombre, 

 pair ou impair, susceptible d'étre décomposé en deux carrés, doit avoir 

 la forme 



**(4Y-i) % UZ+i) ; 



X , Yj Z étant des nombres entiers positifs, sous la condition expresse que 

 les facteurs premiers du nombre l\Z-+- i soient de cette mème forme; 

 et de tirer de la méme source la démonstration de la propriété non moins 

 capitale, que tout nombre entier peut ètre décomposé soit en quatre 

 carrés, soit en quatre ou en trois nombres triangulaires. 



Telles sont les propositions que j'ai entrepris d'analyser d'une manière 

 nouvelle dans le Mémoire que je présente aujourd'hui à notre Académie. 

 J'ai fait tous les efforts dont je suis capable pour essayer d'ajouter 

 quelques développemens à une partie des recherches profondes sur l'Arith- 

 métique, publiées, il y a environ un siècle , par son immortel fondateur 

 Louis Lagrange. 



§ II. 



En m'appuyant sur le premier artifice analytique imaginé par Euler 

 en 1755, j'ai appliqué la transformation du produit 1 . 2. 3. . . m au cas 

 où l'on prend pour m un nombre pair p — 1, tei que p soit un nombre 

 premier. Alors on a d'abord l'équation 



\ 



