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MEMOIRE SUR l.A THEORIE DES NOMBRES 



§ III. 



La démonstration précédente esi iuiimémcnt liée aver le théorème 

 de Fermat; et corame ce théorème est ordinairement demo n tré s;ms 

 rien statuer sur l'expression analytique du quotient qui lui correspond , 

 j'ai voulu chercher une formule propre à le mettre en évidence. 



Soit M un nombre quelcouque non divisible par le nombre premier j>. 

 On sait que si l'on fait 



f(\/)=(M-,) + £=lì (Jf_,)V 



+ (t>-'Hp-»)tp-3) (]U _ t)t _,.„_, ),-. ; 



I ou a l'équation 



Mp— M— \ (M— i)f — ( M— i ) | =pf(M) . 



Donc, en écrivant successivement (M — i), (M — 2), (M — 3), ete. au 

 lieu de M, cette équation donne 



{M - z y-(M- 1 )-\ {l M-- 2) r- {M -,.)[= p f(M- .) ; 



(M- 2)"- (M- 2 )- | (M—3y- (M-S) \ =pf(M- 2) : 



{M—Ny — (M—N) — | (M — N — 1 y — (M—N— >)[= pf{M—JS . 



II suit de là, qu'en faisant la somme de ces équations l'on aura: 



Mp — ■ M — \ (M— N— 1 y— (M — N— 1 ) | = 



P \fi M ) 1 ) +AM ~ 2 ) +f( M ~ N ) 



Maintenant, si l'on fait M — i=i\ 7 , cette équation donne 

 Mp-M= P \f(M)+f(M-i)+f{M- 2) 



ou 



bien 



M\ Mp~' 1 ' 



-<=/(i)+/(2)H-/(3) -h/(J#) 



r 



Donc , en faisant 



