PAR J. PLANA 1 23 



c'esl-à-tlirc une suite infime ordonnée suivant Ics puissances de x, ayant 

 pour exposant tous Ics carrés de la suite naturelle des norubres i , 2 , 

 3, etc. Il est évident, quo le carré X\ de cette serie, étant ordonné 

 suivant les puissances de x, sera de la forme 



X 2 =i^J^x^^J w x^^-J m x^ -H^x^-f-etc. , 



en indiquant par A {m] le coeflicient, et par (ira) l'exposant d'une puis- 

 sance quelconque de x , susceptible de se trouver dans ce développement. 

 Si l'on fait 



X'= r -\- x' -t- x' x'> -\- x lf> etc. , 

 il est clair que l'on a 



Or il est démontré , pav la théorie des transcendantes elliptiques , que 

 le développement X* doit ètre identique à celui du second membre de 

 l'équation 



„ 2 Ax Ax 1 Ax* Ax 1 



A = i H - -\ 5 : -Hclc. , 



I X 1 X I X I X 7 



ordonné suivant les puissances de x. De sorte que nous avons 



X*=i+A.2.— — — — 4.I.— ; 



où la caraetéristique . Z. indique que l'on doit donnei- à n toutes les 



o 



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valcurs o, 1, 2, 3 oc; la caraetéristique .E. toutes les valeurs 



1 



i,2,3 oc , et prendre la somme des séries ainsi formées. En 



développant les fonclions soumises à ces signes, il est clair que l'on a; 



X 1 — 1 H- | (,r + x 1 +x'+x , + -+- x x ) 



-4-4. 2. jx 4,,+, -»-x ,( *" + ,) H-ar 3( * B+, 5-4- -Hx* u " +,) j 



1 ' 



OS 



— 4.21. jx in '-'H-x 2; ''"'- ,) -hx 3(iin '- ,) -i- -t-ar"^"'-^! . 



Dono, tout terme ^x N , qui se trouve dans la première de ces trois 

 séries, sera détruit par un autre terme égal, afieeté d un signe contraire, 



