ri<4 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES 



qui so trouve dans la troisième serie, si le nombre N est égal à un 

 prò dui t de la forme (4"' — i).N'. Il sui t de là qu'aucun exposant de 

 cette dernière forme ne peut se trouver dans ce développement de X 1 , 

 sauf le cas où l'on aurait iV'= ( 4 // — i ) .N" ; iV=(4n'— i f.N 1 ' : 

 car alors le nombre (4"' — =4(4 7i ' — 2«'-+-i), donnerait un terme 

 qui se trouverait dans la seconde serie, tandis que le méme terme serait 

 détruit dans la somme algébrique de la première et de la troisième sèrie. 

 Le méme raisonnement a lieu pour tout nombre N qui serait de la forme 

 A =2". — i) 2 N": il serait dètruit par la première et la troisième 

 sèrie, eu observant que 7V= ( 4 ^ — i).2 a . iV"(4^ — i)> et se trouve- 

 rait dans la seconde sèrie. Donc, en excluant de la première sèrie tous 

 les termes dont l'exposant ren ferme un facteur simple de la forme 4 ^ — 1 > 

 ou carré de la forme (4^ — i Y, d faudra écrire l'èquation 



I'= i ^ (x-+- x*-t- x >-h x*-+- x l(, -\- x 3 * -i-x 1 ") 



-t-4 -2. jx Uf? + ,ì -+-x 2(,is -" , '-4-x 3U?+0 . . . -h* | l«» +, >-f.e*e! ( 



00 



sous la condition expresse que l'on doit écarter tous les exposans A 1), 

 susceptibles d'avoir un facteur carré impair de la forme ( 4 ^ — i ) • ^e 

 sorte qu'on doit, par exemj)le, écarter l'exposant ^g-¥- 1 =()=(4 • 1 — i)*? 

 l'exposant 1 = 49 = (4 • 2 — 1 ) ? et tous ^ es exposans semblables. 



Alors les exposans écartés dans la seconde sèrie se trouveront seulement 

 dans la troisième. A l'égard de tous les autres exposans, ayant des facteurs 



premìers de la forme (4A"H~i) p , (4&'h-i) p '> (4*"-*-O r ? etc -> ^ s 

 se trouveront une seule fois dans la seconde lignc, ayant été pris dans 

 la sèrie 



4 (x ■+-x 1 -f-x 3 -+-x' , -Hctc.) ; 



mais, dans la troisième sèrie ils sy trouveront autant de fois qu'il y a 

 d'unilés dans le prodnit 



(i+p)(i+n(i+p") 



diminué de t unite, puisque, en faisant 



4&H-i=^'; 4/c'-f-[ = p' ; 4A"h-i=)d" ; etc. ; 

 les ditférens termes du produit 



