PAR J. PLANA 125 



ii+p+p m +.. i p*)(i+ F r+p' m +..jr)(i+p"+p n '+..yr)... , 



peuvent et doivent ètte pris |>our Ics valeurs de 4 n- +" 1 > * l' esclusioni 

 de l'unite qui répondrait à // = o. En supposant 



Ì\T=2-(4X — l)\pKp'*'.p''*" ; 



ce raisonneinent démontre quc le coeflìcicnt de x N dans le développement 

 X 1 sera égal à 



r + (H-|3)( 1 -f-(3')(i-4-^') _ l=(l + [ 5)( I -H 1 3')( I + ri ") 



Cette eonelusion etani appliquée à la valeur précédente de X' on aura : 

 X' 2 = Z'+[(n-p)(i-H[5')(H-f5") \x !f = l +l.J (m) x^ . 



Pour plus de clarté j'ajouterai quc, a raison du facteur 2"(^\ — 1)% 

 le nombre des termes donnés par la troisième séi^ie 



co 



2 . (.x 4 " + '-l- etc.) , 

 i 



devient égal à 



(i + j3)(n-p')(n-p") -^«(n-pxn-jB'Xi+p") 



Ce coefiìcient indique en combien de manières l'exposant JX peut étre 

 decompose en deux carrés. Mais, dans ce nombre, tout binome a % +b* 

 est accompagni du binome de sorte que, il faut prendre la moitié 



-l(i-h|3)(n-p')(n-|3") , 



si Fon veut enumerar sculement le nombre de ces binomes difFérens. 

 C'est ainsi , par exemple, cpie pour le nombre ito5=:5. 1 3 . 17 , l'on a 

 (iH-i) ( 1 —l— 1 ) (1-+-1) = 8 , et la moilié 4 indique que la décomposition 

 en deux carrés différens a lieu de quatre manières. EfFectivement l'on a 



1 1 o5 = 33 J -i- 4 * = 32*-+- (/= 3 1 1 a* = ^4^-t- z¥ ■ 



Cette analysc démontre aussi que l'on doit remplaeer la fraction { par 



l'unite, lorsque le produit ( i-+-|3) (iH- (3 f ) ( H-/3" ) est un nombre 



impair; car cette eirconstance répond à un binome « l -f-£ 2 qui n'est pas 

 associò à un autre binome égal b*-\-a*. 



La formule generale est donc (en exeluant les exposans carrés compris 

 dans la serie X '): 



X' l =( I -Hx , H-x''-+-x ,6 -4-etc.) i =[- (i_|-p)(n-p')(i-v-|3") |a jV ; 



