126 MÉMOIRE SUR LA THÉOIUE DES NOMBft.ES 



pourvu que l'ori ait: 



iV=2-(4X— i) 1 (4A--hi)^(4A-'-j-i)^(4A"+i)^' 



Et pour tout nombre /V, qui n'est pas compris dans cette forme, l'on 



a ne'cessairement 



Tel est le type des nombres entiei-s, susceptibles d'ètre décomposés 

 en deux carrés, pourvu que \k-+-i , ^k'-i-i , 4&"-4-i etc. soient des 

 nombres premiers. C'est un caractère general de la forme binaire des 

 nombres. Le type des nombres , qui ne sont pas décomposables en deux 

 carrés, est M(/±A — i) ; M étant un nombre quelconque et ^A — i 

 un nombre premier. 



On sait que ce théorème est dù à Fermat. La demonstration que je 

 viens d'en cìonner est indépendante de toute autre propriété des nombres. 

 Et c'est en cela que consiste son caractère distinctif. Car, en s'appuyant 

 sur l'ensemble de la Théorie des Nombi-es, on parvi ent à démontrer que 

 lout nombre N compose, tei que ses facteurs premiers soient, de la forme 

 (A étant un nombre positif) : 



\ k -k- i = x 1 Aj 3 ; ^k'-h i =x'*-+-Ajr' 1 ; 



4À"-h i =x"+i/" 1 ; etc. , 



peut étre exprimé par un binome de la forme A '+i I 2 en 



Ì(|3h.i)(|3'+i)(Ì^h-i) 



manières , si l'on a ; 



N=(x*+Aj 1 y(x' 1 +A I ' 1 y{x"*-+-Aj"*y 



Cesi de quoi on peut voir la demonstration dans le premier Volume 

 (page 3 1 4 ) de la The'orie des Nombres de Legendre. 



Pour décomposer , sans tàtonnement , en deux carres un nombre 

 donne A , qui aurait la forme réquise, il faudra réduire en fraction 

 continue la racine carrée de chacmi de ses facteurs premiers de la forme 



4^-Ki.= ^'=a'"-i-é' ; 4F-*-i =^"=a"'-Hé" ; etc. 

 Les périodes des quotients 



a' 2 a' ; a" 2 a" ; etc. 



seront paires. Chacune renfermera deux quotients mojrens égaux. En 

 désignant par 



