I 28 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES 



a s -i-b s , a ,s +5 ,< , , 



ne peuvent avoir que des diviseurs premiers impairs de la forme 



4 • 4 m ■+■ 1 j 4 • ^ -h i ; 4 • 2 ' ~ ' w "+" 1 • 



Cette remarque est necessaire pour modifier la généralité du principe à 

 l'égard des diviseurs Unéaires de la somme de deux carrés compris dans 

 la formule 



(a' ,J, )*H- \ 



où a et b sont des nombres premiers entre eux. 



D'après ce théorème , le nombre 2 3l -+- i , ne peut avoir d'autres di- 

 viseurs premiers que ceux compris dans la formule 6^.x-+-i. En es- 

 sayant successivement les diviseurs 193, 25y, 449? ^77, j 7^9? 



11 53, 1217, i4°9 ; 1601, 21 i3, 2333, 2909; 6553^, compris 



entre les limites 



193 = 64.3-4-1 ; }/2 32 -+-i =2 ,6 -t-i =65537 , 



on est surpris de voir que la division réussit à la cinquième division. 

 Mais cette facilité n'est pas un argument favorable pour d'autres cas. 

 Pour s'en convaincre il sumt d'observer, que, entre ces limites, il y a, 

 en réalilé, 2o5 nombres premiers, conformément à une formule de 

 Legendre; sa voir 



_2 ^_2^ 2048 



64*Log.hyp. e 2' 6 — 1, o8366 ~~ 7o7o~ol38 — 20 ' 



(Voyez page 101 du second Volume de la Théorie des Nombres). C'est 

 de quoi il importe d'ètre averti pour écarter toute illusion dans d'autres 

 applications de la formule generale, et sentir à quoi tient la cause de 

 la facilité avec laquelle Euler a pu décider que l'assertion de Fermat, 



touchant les nombres de la forme 2 2 -t- 1 , n'était pas admissible (Voyez 

 les pages 32 et 33 du Tome i. er des Novi Commentarli). 



Pour le nombre 2 31 — 1 , par exemple , quoique fon sache que 

 ses diviseurs premiers . soient de Fune ou de l'autre des deux formes 

 :>48.x-Hi , 248. jc -4-63, il a fallu essayer les quarante nombres pre- 

 miers de cette forme, compris entre les limites 3ii et 463 3 7 , pour 

 acquérir la certitude que 2 3 ' — 1 est un nombre premier. 



