l3o MÉM01RE SUR LÀ TU ÉORIE DES NOMBRES 



W (*J , (-::•) 



i23i , i55q, 2297, 2543, 2953, 3^27, 5167, 6i5i, 7873, 8447, 



(*) («0 (*) 



9io3, 943 1, 10 169, 11 071, 11 399, 10121, 13367, ^991 , 16073, 



1048573, 011 trouve à la dix-septième division que le nombre 



> '' — 1 est compose de ees deux facteurs premievs ; savoir 



2 41 — 1 = 21990. 23255. 55 1 = 13367 X 1 645 1 1 353 . 



Le second etani de la forme 8 72 -+- 1 , doit ètre réductible à la forme 

 x 2 -\rj~ z ; et on reconnait facilement, que 



i645i * 353 5= ( 683).*-+? ( 12808 ) 2 . 



A la page 76 du Tome 2 des Novi Commentarii ee nombre est qualifié 

 premier, avec la réserve du doute. Ce que je viens d'avancer démontre 

 uvee certitude la composition de ce nombre. 



La composition du nombre 1''' — 1 avait échappé à Euler en 1732. 

 Du moins, 011 ne peut pas interpreter autrement ce qu'il a dit, sur ce 

 point, à la page 106 du Tome VI des anciens Commentarii. G'est vers 

 la fin de la page 104 de ce méme Volume que, Euler, avec son ingé- 

 nuilé ordinarne , déclare qu'il a reconnu la composition du nombre 2 3 M-i 

 « his diebus , longe alia agens » : ce qui est fort différent d'une simple 

 application de sa formule 6 4 .£'-+- 1 , etablie douze années plus tard. 



§ V. 



La considération de la quatrième puissance du poi) nome X, défini 

 dans le précédent §, va nous conduire à la démonstration du théorème 

 de Bachet ; que tout nombre entier est susceptible d'ètre decompose en 

 quatre, ou en un moindre nombre de carrés. La fonction 



J 4 = (H-2x'+2,r''+ 2X 9 H- 2X' S +2X l5 + eie.) 4 , 



a la proprieté d'ètre identique au développement de la fonction 



\ OC ^ OC OC " £\ OC oc i 



X' 1 = i -+- 8 ' 1 -H-. ;-+- — 1 -+- eie. , 



jl — X I + X I X l-t-X* I — X \ 



(*) L'aslérisque indique, que les six nombres 2297, 2953, 7873, 101G9, 13121, 1G073 soni les 

 seuls, jiisqu'à 16073, de la forme 8h-+- i 



