l32 MÉMOIRE SUR LA THÉOR1E DES NOMBRES 



X '— 1 — 8*^Log. — — ^(i— * 3 )(i--.r*) j 



■4-32 Log. J(i — <- 2 )(i — *' 3 )(i — v*) ! • 



Il suit de là que si l'on fait, pour plus de simplicite ^ 



U = ( i — x) ( i — x*) ( i — x 3 )( t — x 4 ) : 



/>"=( i^)(i^p»X^v*)(i-P*) ; 



nous avoii s l'équalion 



( _ 8x 3a.t> ^ 



Euler a démontré, dans le Tome V des Novi Commentarti , que, en 

 general , la factorielle 



P=( 1 -p)( l -p>)( l -p>)( 1 -p>) ..... 

 etani développée, suivant les puissances ascendanles de p , donne 



oo 3 n 2 — n oo 3» j + k 



(-i)> * +Z.(-i)> 2 ; 



O 



et que le développement de la fonction 



d.ho$.P_ p dP 

 P Ip~ ~~Pdp~ 1 



suivant les puissances de p est tei que l'on a 



où S (m) représente la somme des diviseurs de l'exposant m : de sorte 

 que, si l'on fait 



róssa* a*. «'*'.«"*". ct"' s "' ; 



a, a', a", etc. etant les facteurs premiers du nombre m, l'on a 



5 



L'application de cette formule à l'expression précédente de X 4 donne: 



