1 34 MÉMOIRE SUR I.A THÉORIF- DES NOMBRES 



011 en conclura, que le développement de X A peut ètre dispose de ma- 

 nière que l'on a 



X" = i 



■4-8 j x5 (l) +x ! 5 (]) +x 5 5 (i; +x'5 ( . ) + H-JC* , ' +, ^ l ' i+1) M-etc.'j 



-+-8.3 j x 2 S w +a:*S M -\-x* S {l) -+-x ,6 5 (l) x^S^ -f-etc. j 



i :T 6 S( 3 ) +X ,0 5(5) +^'^(,) "+" ■T'^w i 



+ 8.3 



(H- .r 10 S (5) -h < r 22 S (ll) H-.r 1 tf (l 3 r l-etc. 1 



Donc , A - désignant un nombre irnpair quelconque de la sèrie i , 3 , 

 5, 7 etc. , on peut écrire, sous fonrie concise, l'équation 



X* = i -+-8.2.S U1 . 2. \ x l + 3^ 1 *+3x^+3x 



'(*) 



l X' 



Ce développement de ^ — - offre un singulier contraste par le rap- 

 prochement de la serie de Lambert : 



1 3 4 5 



-m 7- 3C 3C OC OC OC 



X [t) — 1 i-H J-+-- : H , -hetc. 



w I X I X I X I ' I X 



publiée à la page 507 de son Essai Architectonique. Celle-ci, étant 

 développée suivant les puissances de x , donne la serie 



X {l) = j + 2x'+ 2 ^'+3x 4 + 2 x 5 -t- -+-^> t ) • etc. , 



telte, que, en décomposant l'exposant m dans ses facteurs premiers ; si 

 l'on fait 



m — i k . a 8 , u' °. a. " 8 



l'on a 



G ( „ l) = (AH-i)(^-H I )(^H- I )(o"_ hI ) : 



de sorte que, pour tout exposant m premier, l'on a 



G (m) =2 . 



Pour former le développement de 



X'' = ( i -+-x , -t-x'>-4-x' > -*-x' 6 -helv.y , 

 remarquons, que l'on a 



X ^ = (x^iy == x^- L _^ r+ , /V ' +2(r _ l)r 



IO IO 



