PAR J. PLANA 



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Donc en posant 



00 



X'=i-h2.x" ; X' 2 = i + 2.J {m) .x™ ; 

 i 



le signe 2.J [m) .x [m) indiquant les termes formés d'après la formule 

 donnée au § IV, nous aurons 



A' =i+l 



x' 



00 00 



2 .1 .X"-+-2. 2.X". 2.J (m) .X [m) 



i k 



i i 



ou bien 



03 CO 



I 1 



Cette formule démontre que le développement X'' renferme toutes les 

 puissances de x ; de sorte que, en posant 



A"— i -+-I./7, 



le coeflicient //(„,) de x'" determinerà en combien de manières le nombre m 

 pcul ótre forme par quatre nombres de la serie o, i, 9, iG, 25, 

 36, 49? etc, en tenant compte des variétés qui ont lieu, non seulement 

 par la différence des parties, mais aussi par le changement de place oc- 

 cupée par le mème nombre. Cette doublé variété est la cause de la 

 grandeur des coefliciens qu'on voit naitre dans ce développement. 



Pour former ce développement jusqu'à la puissance x lg , inclusivement, 

 on prendra 



co 



l .2 x" = l (x-+-x ! '-+-x'>-)-x"') ; 

 1 



2. J {m) .X (m) = 2X-i-X 3 '-ì-2X ! '-t- 2X 5 + X S + 2X«+ 2X'° 



00 



2 . S {k) . 2 =x-+- 3a 2 -h4 ^ 3 -+-3x 4 -t- 6x 5 -+- i2^ 6 +8x' 

 1 



H- 3 x*-+- i3x 9 -H i8o? ,0 -+- i2.r"+na'' 1 

 H- !4.4g l3 ~ha4j?'Vfc z^x' -h 3.r ,6 -H iSx' 1 

 -+■ 39x ,8 -+-2ox' 9 ; 



