I 36 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES 



oc 



Z- x u . 2 . J {m) . x {m) — i x 1 +x 3 +4" r5 +^ 6 +2x s +3^ 9 +4x ,u 



1 



-f3.x"+x' ! +. / jx ,3 + 6x' , + 7x 1 '+5x lS 



ce qui donnera 



X n = i -+- 4 oc -+- 6 .r 1 -+- 4 ■+- 5 x'' -+- 1 2 a? 5 -+- 1 2 x 6 -+- 4 7 -+- 6 x* 



-f- t6x 9 H- l8x'°+ I3X" -4-8x ,2 -+- l6x' 3 -J- 2\x"'-\- I2X' 5 



La démonstration que nous venons d'exposer n'a rien de coramuu 

 avec creile de Lagrange. Et on ne saurait croire que, l'une ou l'autre , 

 ait quelque analogie avec celle, perdue, de Fermat. Une réflexion sem- 

 blable peut ètre appliquée à la dém ons tr ation trouvée par Cauohy à l'égard 

 des nombres polygones. Peut-ètre ces démonstrations soni plus rigoureuses, 

 quoique moins simples que celles dérivées « ex multis variis et abstru- 

 sissimis numerorum mjsteriis » dont Fermat entendait parler dans une 

 de ses Notes sur Diophante. 



Au reste , il me parait qu'il n'est pas facile d'admeltre la généralité 

 des démonstrations de Fermat: c'est-à-dire de croire, que ses raisonne- 

 mens étaienl justes, quelle que soit la grandeur des nombres dont il 

 énonce les propriétés. Sa manière de nous faire savoir , que les diviseurs 

 premiers des trois nombres 2" — 1 ; 2 i3 — 1 ; 2 37 — 1 , étaient, respecti- 

 vement, 23, 47? 233 (lisez les pages i63, 1 64 de son ouvrage posthume 

 Opera varia) offre, si je ne me trompe , une preùve qu'il n'avait pas 

 les doubles formules générales des diviseurs de ces nombres. Car , en 

 les désignant par D' , D" , elles sont: 



pour 2 11 — 1 \D'= 88.Z-4-I ; D" = SS.z-h 2 3 ; 



» 2 i:u — i j Z>' == 1 84 . s -4- 1 ; £"=i84.c-+- 4 7 ; 



■>.'■— 1 | 396.3-*- i ; 7J"=296.--h 2 2 3 . 



Or, a priori, on ne peut pas dire, que, eh faisant s=o, les va- 

 leurs de D" seront les diviseurs de ces nombres. Pour s'en convaincre 

 il faut observer que ces doubles diviseurs sont; 



