PAR J. PLANA 



nombres susceptibles d'ètre décomposés en Irois carrés. Et cornine les 

 nombres de la forme 8 /i— |— 7 ne peuvent pas ètre decomposés en trois 

 carrés, on aura fi, m) = o pour les coefliciens alFeetés à des cxposans qui 

 auraient cette dernière forme. En outre on aura aussi B^ m) z=o , si 

 l'exposant est de la forme ^ (Sji-^- r j). Car, l'impossibilité de l'équa- 

 tion 8 7i —I— 7 ■=-x'- J rj' •+■ z z entrarne celle de l equalion 



a '*(8» + 7j=(a*atr)"H-(a t .7)V(a*.») > - 



De sorte que 



4 x (8rn- 7 ) 



est le type des nombres qui ne sont pas décomposables en trois carrés, 

 quelques soient les facteurs premiers de 8 1 -f- 7. Les nombres de cette 

 forme ne peuvent pas étre decomposés en deux carrés, si l'on observe 

 que l'équation 



4*(8r-H 7 )=2 x '(4Z'-.i) 4 (4r-H.i) 



est impossible en nombres entiers et positifs. 



La sèrie des coefliciens Z^ m) est du nombre de celles qu'on nomine 

 vécurventes: elle est analogue à la sèrie qui donne la somme des divi- 

 seurs des nombres naturels 1, 2, 3, 4? etc - Les nombres pvemievs , de 

 la forme 8 /f -4- 3 , sont réductibles à la forme quadratique q^-ì-iv 1 . 

 On aura 2? (m) = 3 pour tout nombre premier m de la forme 8«h-3. 



Or on sait, que tout nombre de la forme 4"-t-2 est réductiblc à la somme de trois carrés: donc 

 cette proposi tion revient à dire que le doublé des nombres impairs de la forme 8m — i peuvent 

 ètre réduits à la somme de trois carrés. Fermat avait énoncé cetle propriété en la limitata aux 

 nombres premiers de la forme .8 m — r. « Dupluni cujusJibet numeri primi imitate minoris quam 

 » multiplex octonarii componilur ex tribus quadratis. Eslo quilibet numerus primus unitale minor 

 - quam octonarii multiplex (ut sont r, a3, 3i, 47; etc), eorum duplum ut 14, , 62, 94, 

 » componilur ex tribus quadratis ». Telles sout les paroles de Fermai , qu'on lit dans une de ses 

 lellres à M. Digby, publiée par Vallis (page 858 du Tome II de ses OEuvres). Cette mème 

 lettre est citée par Lagrange aux pages 338 et 355 du Volume de l'Académie de Berlin pour 

 l'année 1775. Mais, par une altéralion que je ne puis m'expliquer, la proposition de Fermat est 



enoncée par Lagrange avec ces mots « Quant aux nombres de la forme 8m — 1 M. Fermat 



» assure que le doublé de chacun de ces nombres est toujours aussi la somme d'un carré et du 

 • doublé d'un carré; mais ce dernier théorème est du nombre de ceux qui restcnt à démontrer ». 



Comme la proposition de Fermat revient à dire, que la rcoilic de la somme x 2 +y ì -+- 42 1 des 

 trois carrés, donne 8ra — 1 =p* -+- ■+■ iz* , en posant x=p-ì-q, y — p — '/ ; jc soupeonne que 

 Lagrange entendait qualifier la mème proposition par ces mots, savoir: « Quant aux nombres 

 » de la forme 2(81» — 1), M. Fermat assure que la moitié de chacun de ces nombres (c'esl-à-dire 

 » 8«-i) est toujours aussi la somme de deux carrés et du doublé d'un carré ». Je livre celle 

 simple conjeclure de ma part avec loule la réserve qui est commandée par le r.om de Lacrance. 



