I 4 4 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES 



En effet, soient A, B, C Irois nombres, qui, pris dans la serie des 

 carrés o, i, 4> 9> etc -> donnent A-\- #-4- 6"= 8 77 -4- 3. Il est dé- 

 montré que la forme quadratique de ce mème nombre doitélre yy 1 -+-2.<y 1 ; 

 p et q n'ayant aucun drviseur commuti. Et si ce nombre est premier, 

 cela ne peut avoir lieu que d'une seule manière. Car, un nombre com- 

 pose N de la forme 



est tei que l'on a 



Nz={2aczìzbd) 1 -+-2(ad?zbcy : 



de sorte que l'on a la doublé égalité 



N=p*-i-2q 1 =p'~ -4- icf 



Maintenant remarquons que, dans le développement du carré X' , il 

 y a seulement les trois termes 



^A + B ~,A + C ~,B+C 



tA^ y y kAs 



capables de produire des exposarts égàiix à 8 n -4-3, en formant le pro- 

 ci uit de X' par 



i -\-x'-hx''-+- x ,( ' -+-x c -hx B -Kr^-f- 



Mais, deux des trois nombres A, B, C doivent étre égaux, afìn que, 

 le mèrae nombre N , puisse ètre produit sans le concours d'ancun autre 

 nombre différent des trois primitifs, désignés par A , B , C\ donc l'on aura 



pour tout nombre premier de la forme 8n -+-3. 



Les nombres premiers de la forme 877-4-1, participent à là fois aux 

 deux formes quadra tiques p*-+-q 1 ; x*-k"%y x . Cette duj)lication de forme 

 quadratique les distingue des nombres premiers de la forme 8n-+-3. 

 L'on aurait aussi Z? (mi = o, pour des nombres m de la forme 



4 . 2 7i-4- i = Su -4- i ; 



tels que, 8 77 '-4-3, 877 "-4- 3, e'tant des nombres non premiers, l'on eùt 

 8 n -4- i =7// = ( 8 77. '-4- 3 ) (87ì"-4- 3) . Car, dans ce cas , les nombres 

 8 n '-4- 3 , 8 7i rr -4— 3 , sont, chacun , décomposables en trois carrés inégaux: 

 de sorte que, en posant 



8 77'-H3=//-4-r/' 2 -4-7-'\ 877"-^3=/7" 1 -W/" 1 -»-7■" , , 



l'on a 777 = (/j»' 1 -+-7' 1 -+-7 , ' 2 )(/7" , -4-r/" 1 -4-r" i ) ; c'est-à-dire 



