PAR J. PLANA l45 

 m = 



(^yy'^- 7 V / ''+^^.'')V(/)^/"-77/') ^ -t-(//^''-^''^ , ) 2 -^(7V'-r'// , ')^ 



Donc, le nomhre m, étant nécessairement compose de quatre carrés, 

 ne peut pas se trouver dans le développement de X' 3 , et Fon doit faire 



Un nomhre quelconque de la forme 8/H-3 est décomposable en 

 trois carrés impairs. En eflet , il sei^a démontré dans le § suivant , que 

 tout nombre N est egal à la somme de trois nombres triangulaires: 

 et avec une légère réflexion on reconnaìt, que l'équation 



revient à dire, que 



8 N -5- 3 = ( 2 x -h 1 ) 1 -+- ( 2 y -H r ) 1 -h ( 2 z 1 ) 1 . 



Mais , ce nombre , ne peut élre premier à moins que deux des trois carrés 

 ne soient égaux. Cependant, il ne faut pas perdre de vue, qu'il y a une 

 infinite de nombres impairs non premiere de la forme 4 W "+" 1 décompo- 

 sables en trois carrés. Pour en saisir la possibilité, avec une certame géné- 

 ralilé, remarquons que, tout nombre impair, sans exception, 2n+i , 

 satisfait à l'équation are+^^'+j'+as'. Donc, en prenant pour z 

 un nombre tei , que 2/1+ 1 — 2 . z 2 , soit de la fonne l\ k •+• 1 ; et que , 

 de plus, les facteurs premiers de 4^'"+" 1 soient de la forme 4tT"+~ 1 5 

 4 £"'-+- 1 , etc. , l'on sera certain que 2K+ i — 2 .s l =.r l H-j'\ Par exemple 



i7 7 G5 = 2.(i2) 1 H- i7477 = 2.(6) 1 -4- 17693 ; 



i7477 = (io6) 1 -i-(79) 1 ; i 7 G 9 3 = ( i33)"-*- 2* . 



De là on tire : 



i 77 65 — 2 l = 17761 =(6o) 1 -t-( 1 19) 1 ; 

 i 77 65 — (106) =652 9 =(65) l H-(48) 1 ; 



et par conséquent 



I7765 = 2 2 -^-(6o) 1 -t-(II9) 1 =(48) 1 -^-(65) 1 ^-( I o6) , ; 



mais il y a des nombres impairs pour lesquels une semblable transfor- 

 mation est impossible. 



En excluant les nombres de la forme \n , et considerami les nombres 

 compris dans les trois formes /\n-\- i , ^n-+-2, 8 7/ -+-3, le coeflìcient 

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