l/[6 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES 



/? (w) indiquera en combien de manières on pourra disposer Ics trois 

 carrcs qui composent le nombre in. Si ce nombre, decompose dans ses 

 facteurs premiers, est de la forme 



m = ( 2 A-|-i) p .(2A'H-i) ? '.(2A-"-M)f ; 



c'est-à-dire, tei que g soit le nombre de ses facteurs premiers et iné- 

 gaux, 2 A - -Hi, 2À' + i , 2^"+ i , etc. , on peut démontrer, que le 

 coefficient Z? ( „^ , réduit aux formes trinaires differentes , sera nécessaire- 

 ment un multiple de i s ~ 1 . Pour le nombre 17765 = 5.11.17.19 fon 

 a g- = 4; et pour le nombre 9225 = 3\ 5 \ 4 1 l'on a g = "i. 



Les efforts faits par Euler, pour démontrer que les nombres pre- 

 miers, de la forme quadratique x^-^-i .y* , ont, exclusivement, la forme 

 linéaire 8/Ì-H-3, sont attestés par un de ses Mémoires, publié en 1761 

 dans le Tome VI des Novi Commentarli , avec le titre paradosal « Spe- 

 )> cimen de usu obseivationum in Mathesi pura ». Ces efforts, d'un 

 homme doué d'un genie analytique éminemment vaste et profond, sont 

 propres à relever le inerite de la grande decouverte, sur la Théorie des 

 Nombres, publiée par Lagrange dans les Volumes de l'Académie de 

 Berlin pour les années 1773, 1775. Le mème Euler a commentò (vers 

 l'année 1780) cette decouverte par un Mémoire intitulé: « De insigni 

 » promotione Scientiae Numerorum » , où il dit : « Eximia omnino sunt 

 » quae celeberr. La-Graxge deuionstravit, et maximam lucem in scientia 

 » Numerorum, quae eliam nunc tantis lenebris est involuta, accendunt ». 

 Euler voyait dans ce travail de Lagrange l'accomplissement du voeu qu'il 

 avait exprimé, quelques années auparavant, à la page 128 du Tom. MIT 

 des Novi Commentarli , où il cite quelques propriétés des Nombres « et 

 « plura alia quae (dit-il) tamen nondum video quomodo demonstrarl 

 » queant » . Ces paroles , et surtout les théorèmes énoncés par Euler , 

 en 1746, dans le Tome XIV des anciens Commentarli, suffisaient pour 

 exciter le genie de Lagrange , et lui indiquer clairement que les pro- 

 priétés des Nombres , compris dans la forme quadratique du trinome 

 BC-irCtu-\-Du , devaient è tre fécondes pour reculer les limites de 

 cette branche des Mathématiques pures. 



§ VII. 



Soit 



n(n + 1) 



X" = 1 -4- jt ' -4- x 3 .x 6 -+- x'° -+-JC 1 -Hetc. 



