PAR 3. PLANA [ \ n 



La quatrième puissance X" ' de cette serie devient identique au dévc- 

 loppement de la fonction 



X" = 1 jH — j H ~ : -+-- ^^--t-etc. , 



I — X I X I — X I — X 1 I —X 7 



après avoir developpé cliacun de ses termes suivant les puissances de x. 

 C'est de quoi on rencontre la demonstration dans la theorie des trans- 

 cendantes elliptiques. Or en écrivant 



"~ o * I— X in + l ' 



00 



et développant la fonction soumise au signe . Z . l'on a 



o 



ce 



X"'=2'(27i-+- i)x n \ 1 +x in+ '-4-x 2[in+ ')-hx Hin - i -' ) -+-eic.\ . 



o 



Les premiers termes de cette serie sont 



X"''=z i -H4x-+-6x , -f-8x 3 -H i3j? 4 h- i2^ 5 + i4^ 6 -f-24^ 7 

 -+- 1 8 x 8 -+- 2 o x 9 ■+- 3 2 10 -+- etc. 



D après la table qui donne les valeurs de S {n) on reconnait aussitót, que 

 l'on peut ecrire 



X" = 1 +a; ^(1.1 + 1) "4-"^ ^(1.2+1) ■+■ 3c 1 S( l 3+ , ) •+- x*S^ . 4 + I ) 

 -ì-x^S^ .5 + I ) -H x n S( Z ,)-+- etc. 



Donc un nomine quelconque « peut ètre decompose en quatre nomhres 

 tviangulaives autant de fois qu'il y a d'unités dans le coefiìcient S^, n+l s. 

 Il est facile de tirer de là le développement du cube X" 3 . En effet , soit 



X' n = 1 +x[i] + x'[2] + x J [3] -+- x m [m] ■+- etc. , 



en multipliant cette serie par 



X"= 1 -4-x'-+-x 3 -+-x 6 -|-j: ,0 -Hetc. , 



on doit reproduire celle de X" ■ : donc , par la comparaison des deux 

 coefficiens de x m , on aura l'équation generale 



S {1 m + t )= [m] -+-[m — 1] -4- [m — 3] -+- [m — 6] -+- [m — 1 o] 

 -+- [m — i5]-t-(7?i — 2i]-+-etc. ; 



où l'on doit retenir, dans le second membre, les seuls termes, pour 



