PAR J. PLANA 1 49 



af(*-0 (/»'-«) s=( i-f- pQ)P ~ l ; M^-'^/''- :^ !-+-//()')/'-■ . 



En développant le binome qui conslitue le second membre de la pre- 

 miere de ces deux équations, il est évidént quo p demeure un facteur 

 commini à tous les termes cjui suivent l'unite : donc la différence 



est nécessairement divisible par p. Par la mème raison, appliquée à la 

 seconde équation, la mème difference doit èti'e divisible par p'. Or, cela 

 ne peut avoir lieu sans que cette difference soit divisible par le pro- 

 duit pp'- Ainsi, en posant 



[3] y^-. ) = ! ^-pp'.Q" , 



il faudra regarder Q" cornine un nombre entier. En considérant un 

 troisièmc nombre premier p ", qui soit premier à M , on a l'equation 



[4] MP"~'=i -+-/>". Q" f . 



Des deux équations [3] et [4] on tire 



M^-'^>>'-' ) (P"-' ) =z{i+pp'.Q")r"-' ; 



ffltp-i) (/»'-o — t j -t-p", Q"'yp-')ip'-' 



Donc, en développant ces deux binomes, il est manifeste que la difference 



doit ètre divisible, soit par pp\ soit par p" ; et par conséquent par le 

 produit pp'p" des trois nombres premiers p, p', p". Rien n'empèche 

 de prolonger cette de'monstration, et den conclure que l'equation 



M x —i=NV 



sera résolue, si ayant Nz=p .p'.p".p"' on prend 



X=^-i)(^-i)(^~i)(^"'-i) 



Ce raisonnement est applicable à un nombre compose quelconque 



N=p k .p'*.p" k '.p"' k "' 



En effet, reprenons les deux équations [i] et [2]: en clevant les deux 

 membres de la première à la puissance p k ~', et les deux membres de 

 la seconde à la puissance p' k ~', Fon aura 



M P k -'iP->) == ( l ^. p Q)P k -' j 



Mp *'~'^--')={i-+-p'Qy k '-' ■ 



c'est-à-dire : 



MP k -'tr-')z=i+p*. U ■ MP*'"(P , -'ì=i+p'*'.U' ; 



