IJO MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES 



U et U' tlésignant des nombres entiers. De là on tire la doublé égalite 



afp*— (pr- ).?-*'— (/>'- )==(!_»- p *. uy k '" 1 ^'-^ ■ 



et la conséquence, que la différence 



j/^/P * —I (/» — «).•■!»' (/>' — 1 ) i 



est divisible à la fois par p k et par p' k \ De sorte que l'on a 



[5] M" k ~' {p - l) - p ' k '~'^'-^=:i-hp k .p' k '.G ; 



G désignant un nombre entier. 



En élevant les deux membres de l'équation [4] à la puissance p"*'~*, 

 on a par le développement du binome 



[6] M'" k "~'l'"—) = i.+p"*".G' ; 



G' désignant un nombre entier. 



Les équations [5] et [6] étant élevées, la première à la puissance 

 p" k ".(p" — i); la seconde à la puissance p k ~'.(p — i).p' k '~'.(p" — i), 

 il devient manifeste, que l'on aura 



l\,/p k ~'(p-')-(p ,k '~ l (p'-o- />"*"-' (*"-•)_ j +p l .p fk '.p nk ". y ; 



V désignant un nombre entier. 



Cela pose, il est démontré que ayant 



N=zp k .p' k, .p" k ".p'" k "' 



on aura la solution de l'équation 



m x — i =n.v 



en posant 



m (--?)('-?)K%>t) 



Cette solution est, corame l'on voit, une conséquence tout-à-fait di- 

 rcele du théorème de Fermat. On sait, d'un autre coté , que cette valeur 

 de X exprime combien il y a de nombres plus petits que N, qui sont 

 premiers au méme nombre. Mais cette coi'ncidence ne constitue pas un 

 argument nécessaire pour parvenir à la valeur de l'exposant X; et c'est 

 en éliminant cette considération à la fois intime et étrangère, que l ori 

 simplifie considérablement la solution du problème énoncé par Euler à 

 la page 75 du Tom. Vili des Novi Commentarti (Lisez la page 104 

 de ce Volume ). 



