igO MÉ MOIRE SUR LA THÉORIE DES TRA.NSCENDANTES ELLIPTIQUÉS 



obtenus, en faisant successivement n = o, i, 2, 3, p — r, est la 



fonction symétrique sur la quelle ces recherches sont fondées. On verrà 

 que cette dénomination est suggérée par la plus simple des propriétés 

 inhérentes à cette fonction. 



La doublé expression analytique dont sont susceptibles ces fonctions 

 symétriques conduit à la conséquence capitale, qu'il existe une équation 

 algébrique de la forme : 



n (x) +-.IV{x) = (l=ì=x)\ lì" (x)] * , 



qui se vérifie par itlentité pour toute valeur réelle ou imaginaire de x ; 



où le coefficient ~ est Constant, et li(x), ll'(x), U"(x) désignent trois 



polynomes entiers et rationnels ; les deux premiers du degré p — 1 , et le 



troisième du degré ^— — - • Les facteurs ambigus iz+zx, + — seront pris 



avec le signe supérieur ou inférieur, suivant quc le norabre impair p 

 sera de la forme 1 , ou !\i — 1. 



Le facteur n'est pas arbitraire; on verrà qu'il est une fonction sui 



generis des quantités constantes qui entreiit dans la composition des trois 

 polynomes U(x), II' [x) , li" (x) . 



L'identité, que je viens de definir, est la conséquence d'une autre 

 identité plus generale qui peut ètre écrite ainsi, savoir: 



e {x ) -^^}f(x' ). «*) = ( 1 =♦=*)./(*') [ù (*).] ' ; 



ò 



où &(x), C,{x) , Q(x) sont aussi des polynomes entiers et rationnels. 

 Mais le cas particulier de x' = o, qui rend égale à l'unite la fonction 

 de x' désignée par f(x'), est celui qui a un contact plus im media t avec 

 les transcendantes elliptiques. 



L'application de cette identité à la transformation des fonctions el- 

 liptiques de première espèce en d'autres semblables, dont le rapport de 

 leurs dilférentielles soit Constant, devient en quel que sorte spontanee. 

 Car , il est facile de la réduire à une autre identité de la forme : 



j [0 (*)]■_ [Q> (*)]* j j [0 (*)]*_*' [0 ' (*)]" \ = G* ( 1 - x) ( 1 - k V ) [Q"x)]\ 



où h et G sont des quantités constantes; et d'en conclure que les trois 



