PAR J. PLANA 191 



polynoines O(x), Q.'(x)., Q" (x) , entiers et ralionnels sont tels quc l'on a : 



ce qui constitue le principe de cette transformation. On ne pouvait pas 

 prévoir a priori, par (Ics calculs d'une exéculion prompte et facile, une 

 >eonscquence aussi éloignée de la conception de toute fonction syme- 

 trique de l'amplitude. Mais, après avoir ainsi soulevé le voile qui cachait 

 une Ielle vérité par des calculs accessibles à toute intelligence qui possedè 

 les découvertes antérieures faitcs par Eui.er et Legendre, 011 concoit que, 

 en voulant prendre pour point de départ la démonstration d'un resultat 

 heureusement rencontré, on doit nécessairement imprimer à la démonstration 

 l'apparence de plusieurs difficultés intermédiaircs , plus ou moins difficiles à 

 surmontèr, lesquelles peuvent èlre, de prime abord, climinées en suivant la 

 marche indiquée pour achever la solution du problème relatif à l'expression 

 des fonctions symeti^iques de l'amplitude, tclles que nous les avons défmies. 



C'est ainsi, par exemple, que l'on aurait à vaincre une assez grande 

 difliculté , en voulant démontrer directement, que, par une approximation 

 indéfinie, on a l'équation: 



Log. hyp/ JS = j | M. M a . M 00 . M uu0 1 J ; 



i\ étant un nombre pris à volonté, /• un exposant assez grand pour que 



12. i 



soit une quantité inférieure à la fraclion — — — , qui marque l'ordre 



des décimales que l'on veut negliger; et M, M , M 0O , M oon , etc. une 

 suite décroissante de nombres compris entre 3 et 1 déterminés par les 

 équations : 



**** = J « -+■ V9 M«r l — 1 | ; etc. ; 



tandis que cette cgalilé rencontrée , et non cherche'e a priori, découle 

 naturellement d'une autre questioni qui lui paraìt absokunent étrangère 

 (\oyez la page 233 du 1." Volume du Traile des Fonctions elliptiques 

 de Legendre ). 



