JQ2 MÉMOIRE SUR LA THÉOTUE DES TRANSCENDANTES EM.IPTIQUES 



Après cette digression , qui ne me parait pas dépourvue d'utilité, je 

 reprends l'exposition des queslions traitées dans ce Mémoire. 

 Par la manière dont j'ai établi l'équation 



F(k, 9 ) = p..F(h,ù) , 



qui représente, sous forme transcendante , une intégrale particulière de 

 L'équation différentielle 



d x jj . dj 



yji -x) ( i - k^x r ) = y~( i -j 1 ) ( i - hy) > 



en posant ,r = sin.<p, j" = sin. <i> , il était facile d'en conclure, que 

 l'équation différentielle devant subsister, mème pour des valcurs imagi- 

 naires de x, j, de la forme X .\^ì , Y.\^[ , il était permis de 

 remplacer x par x . \ — i , et y par j .\ — i ; ce qui, en supprimant 

 le facteur commini V~ ' > donne l'équation différentielle 



dx fi-dy 



\ ( i -+- x ) ( i -+- k'x 1 ) ~~\/d ( i h-/*V ; ' 



Or il est évident, qu'en faisant ici 



3? = tang.6> ; 7=tang. ). : k' = i — h* : h'* = i — fi 1 , 

 fon aura l'intégrale 



F(k\ co)=[j.F(h', X) . 



De sorte que, entre les deux couples de transcendantes 



F(k, ? ), F(k',<o); F(h,+), F(h',l) , 



dont les modules sont complémentaires , il v a l'équation 



F(k, ? )_ F(h,^) 

 F{k', o>)~~F(h', ).) " 



Maintenant , si L'on réfléchit que cette conclusion subsiste, quelle que 

 soit la grandeur du nombre impair p, qui entre dans la formation de 

 l'équation 



F(k, 9 )z=;j.F(h,ò) , 



il sera naturel de passer du fini à Yinfìni, pour voir, si, par là, on 

 parvient à déterminer les constcmtes auxìlìaires , qui ont été employées 

 pour le succès de la transformation. Elfeclivement , ces constantes, de 

 la forme sin. a m} cos, «„, : m etani un nombre entier qnelconque, soni 



