196 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES TRANSCEPs'DANTES ELLIPTIQUES 



où la valeur de l'amplitude <p est cense'e donnée, sera résolue en évaluant 

 le second membre par les Tables de Legendre, et déterminant cnsuite 

 l'amplitude <p par la serie de Jacobi 



Ti 



(?=- X-t-2 .2. v v sin.(n7rZ) ; 

 où, pour plus de simplicité, l'on a fait 



dtp 



■ c ,. sin. y 

 X=-2 



/ 



dtp 



1 — k\ sin. 2 



Le signe . £. indique que l on doit former les termes successifs de 

 1 



la serie en y faisant n = 1 , 2, 3 ; 4 etc - 



Il peut ètre utile de faire remarquer, que l'ancienne formule de 

 Lagrange pour le retour des suites, donne pour <p une serie de la mème 

 foi ine ; mais avec des coefficiens, qui, au lieu d'ètre finis , sont composés 

 par des suites infinies , impossibles à sommer sans le secours de la nou- 

 velle transcendante q dont Jacobi a fait connaìtre les nombreuses pro- 

 priétés. Il est clair en effet que, de l'équation connue 



F(k, tp)=z-K. cp — ^ (l) sin. 2 9 -t-^^ sin. 49 — desivi. 6 <p -4- etc. , 



011 peut tirer les expressions de tp, sin. tp, cos. tp, par des séries pério- 



t n Fi k, tp) „ „ . 



diques ayant pour argument K ^ ar ? en iaisant 



n F(k >9 ) 

 R ~2 K~ ' 



et n(9) = -^.(^ (l) sin. 2tp — A {i) sin. ^tp-\-A w sin.69 — etc.) , 

 on tire de l'équation <p=a-J-n(y) , les séries 



. 1 rf.[n(a)]* 1 d\[n(a)y 

 , = a+n(a) + — -i^LiL^—.-L^X^etc. ; 



