2o8 MÉltfOlRE SUR LA THÉOIUE DES TRANSCEND \NTES ELLIP1IOUES 



D'après les forinules généraies publiées par Lecendre cn 1792 si l'on fait: 



a m =zAÌ^K^ ; ]/i-k\ s\n:« m = à(* m ) ; ]/ i—k*. sin. 1 9 = A (f) ; 

 l'on a : 



. / w„\ sin. cos. « w . AfaJ-f-cos.<p.sm.a m . A(<p) 



(2) ... sin. ^/ a ) = . » r— 4 ' ; 



w \ p / ì —k sin. ?.sin. cr m 



(3) ... cos. a U - = sin ' y ' cos - ' A , ( * ^ 7 cos r V sin - • A {? ) - ; 



\ p / 1 — A: sin. cp.sin. a,„ 



Donc, en applicjnant la première de ces deux formules an second, au 

 troisiéme, ctc. facteur de W, il est clair que l'expression de W sera 

 re'duite à la forme 



„. , . ./(«)'' (sin.?, cos. 9, A(?)) 



où le numera teur f {l) • est une fonction des trois quantitès sin.?, cos.?, 

 A(?), et le dénominateur f, ^ • une fonction de sin.? seulement. La ré- 

 duction de TV à une fonction de la variable ? est, par là, démontre'e 

 possible de prime abord. Mais l'exécution de cette transformation , con- 

 duite jusqu'à son dernier terme , exige les considérations délieates que 

 je vais exposer. 



[2] Avant d'aller plus loin, remarquons, que les formules (2) et (3) 



,. . m T , 



ont heu en remplacant — a par 



p 



A: sin. ? 



et a m par ?'. Alors, en faisant ?'=2Z7r, l'on a §'=4* A 5 



sin. J(^^ìz^iK) — sin. fz=s'm.J(^) ; 



c'est-à-dire la formule de'signe'e par (1). Les mémes formules demoni* ent 

 que, en faisant ?'=::, fon a <f'=2 7T; et 



sin. i(?±2^J = — sin. ? = — sin. A ( ? ) ; 



ou bien 



(4) sin.^/(w) = — sin. A ( u ± 2 K) . 



L'emploi fréquent que nous ferons des formules (1) et (4) est ainsi jus- 

 tifié d'une manière tout-à-fait claire. 



