:*34 MÉMOIRB SUR LA THÉORIE DES TRAHSCENDANTES Ei.EIPTiQUES 



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£/ el élanl deux poivnomes entiers el rationnels 01 .r, du degré 

 — déterminés par les équations (A n ): et les constanles (j. et h 

 étant déterminées par les équations 



f,=^ , h = kr.D>* , 



el par les équations (B). 



Ce resultai, tout-à-fait remarquable, n'a rien d»- surprenant, si l'on 

 réfléchit qu'il a été rencontré f et non cherché a priori, par la manière 

 dont notre analyse a été conduite. Dès que Fon a vu l'existence des 

 équations (A), il était naturel d'en dériver l'équalion (A VI ). Et le passage 

 de cette équation à l'équation différenlielle (A V1 ") élait facile à prévoir, 

 ayant la connaissance des recherches publiées par Legendre en 1820 sur 

 la transformation des transcendantes elliptiques. 



Il est probable que Jacobi se sera propose le problème relatif à la 

 forination generale de deux équations de la forme 



• , r /"(sin. (9) , , /'"(sin.0) 



sin. f = sin. 9 . J „ . ; ; cos. <b = cos. 9 . - . — — , 

 j (sin. 9) f (sin. 9) 



de manière que /(sin. 9)., J'(sm.O), f"(s'm.9) soienl des fonctions 

 entières et rationnelies de sin. 9 du mème degré, et que, en écartant 

 tout-à-fait la considération des poiynomes fortnés avec des coefliciens in- 

 déterminés , il ait trouvé les équations (A). Ce premier obstacle une fois 

 franchi , 1 idée d'elargir la sphère des recherches de Legendre était na- 

 turelle, mais la difficulté de réaliser un tei projet ne pouvait étre sur- 

 montée que par une connaissance approfondie de loules les branches de 

 l' analyse algébrique, et l'éminent talent de savoir appliquer les artifices 

 qu'elle enseigne avec la variété conforme aux différentes circonstances 

 qui naissent dans le progrès des recherches mathématiques. 



L'opinion émise par Legendre, à la page 77 du troisièine Volume 

 de sa Théorie des Fonctions Elliptiques, me parali moins probable, 

 quoiqu'il soit à-peu-près impossible de deviner les artifices que Jacobi 

 aura employés dans le coinmencement de ses recherches sur la Théorie 

 des Fonctions Elliptiques. Euler, seni, aurait légué à la poslérité le 

 recit de ses tentatives, et mèine des hasards, qui, par léur réunion, 

 auraieiil contribuì au suecès compiei d'une semblable découverte. 



