l?4o MÉMOIRK SUR LA THÉORIE DES TRANSCENDANTES ELL1PTIQUES 



Nous avonsfait voir dans le numero précédenti, que l'équation (68) donne 

 (80) K=zpp..H . 



K' 



Aitisi, le facteur [j. disparaìt dans l'expression du rapport — , et l'on a 

 l'équation transcendante 



entre le couple des modules complémentaires k, A'; et h , ti. 

 Les équations (y3) donneili : 



sin. (d U' 



sin. w 



~1 ' 



f* p ( 



V 1 



(8^) ^ eos. w = cos. (p • -gj^ > 



Q' 



y 1 —11 sui. r jj |f 1 —n sin. <^ ■ 



li ' » 



en posant 



(83) 



|/T_/*' 2 sin. 2 w=j/ 1 —A'\sin. 2 r ^ , 



v ' \ sin. a,/ \ sin. <z 3 / \ sin. a ' 



Q' j 2 j =( 1 -+-A -2 tang. 1 © .sin. 2 a, ) . ( 1 H-A 2 tang. 2 <p . sin. 2 a ( ) .... 

 ( 1 -4-AHang. 2 ^ . sin.* oc pr . J . 



[12] Les équations (A) , en y remplacant Y par V— ^ • tan r- w > et 

 sin. 5 par |/ — 1 . tang.© , donnent 



, 1 -Htang.w.y~ / 1 -htang. y. |/~ \ i>( — tang.©.y~) 



* L| ' ' ' ' 1 — tang.oo.}TZ7 \ 1 — tang.y.y^ / ' Q (tang.-p. ' 



i-+-/*tang.co.)/~ / i-+-A lang.y.|/irr \ taiig.y.ym", ) 



1 — Atung.M.y — 1 \i — A- tang. o.y — 1 / Q {ì) ( tang. f . \~\ ) 



La serie ordinaire pour développer Log. I L en y écrivant x.y — 1 



au lieu de x , donne 



Log. ^ | ^, ' ) = 2 • V— ' • arc - ( tan S- — x ) 5 



! _f_ X . V— 2 V~ . arc.(lang.=jr) 



1 — ^.yzrr — 



En appliquant cette formule au Logaritlnne hyperbolique des deux membres 



