:>.5o MÉM01RE SUR LA THÉORIE DES TRANSCENDANTES EI.LIPTIQUES 



entre les mémes limites o° et 90 , est un resultai de Jacobi d'autant plus 

 remarquable t|ue le modale li peni clic diminué à volonté par l'augmen- 

 tation dii nombre ìmpair p. On pouvait le rencontrer, mais non le 

 prévoir a priori. En réfléchissant sur les nombreuses consequenees qui 

 seronl développées dans le § suivanl , ce resultai ine cappelle la phrase 

 figurée d Ar ago : « Si l'on songe qu'en matière de scienee Fimprévu 

 » forme toujours" la pari du Liou » , que je lis à la page 44 du second 

 Volume de son Astronomie Popttlaife. 



.Mais, sur ce point il y a une autre reflexion qui lucrile d ètre 

 exposée iei ayant d'aller plus loin. L'équation entre sin. o' et sin. 6, 

 dont nòus Yenons d indiquér la formalion , sera du degré />\ et telle 

 <pie l'on aura 



, A,.^ sin. 0-\- A i}) sin. 3 SH-y/ ( r. sin.^-f- -\- A <*,sn\. p * .6 



sin.o> = — — — — — s • 



B [o) +B {l) sin.^-f-/? (0 sin.-0-+- +B { *_ l) sin.' 



Dono, l'amplitude w' ciani donnée, il y aura p 2 racines , on valeurs de 

 sin. 5 , qui , analytiquement paviani, seront admxssibles cornine Solutions 

 de l'équation 



6 a' 



J y 1 — k . sin. 9 / . ' K 1 — * • s,n - ^ /> 



o o 



/ priori on concoit , que les p amplitudes 



ayant le méme sinus , on dait Irouvcr pour sin. 6 un nombre p de va- 

 leurs réelles, eorrespondantes à 



LFH^tìt') ; j--F(k, 0/-4- a ; j--F(k, c/-+- 4^) ; eie. 



De sorte., que l'équation entre sin. co' et sin.0 étant du degré p 1 doil 

 avoir d s — p racines imaginaires. A ([noi tient rexistence de ces racines 

 imaginaires ? On pourrait penser qu elle tieni à des facteurs élrangers 

 qui se soni iritroduits dans l'équation du problème par un vice inhérent 

 au procede suivi pour sa formalion. Cette conceplion serait faulive. Car on 

 peni démontrer que l'expression de sin.w' est, par sa nature, une ielle 

 fonction de F(k,u') qu elle demeure invariable par le changement de F(k,'jì') 

 evi F(A", 2Ì.V — 1 *K' 5 i étant un nombre quelconque entier, et 



m 



