2tH) MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES TRANSCENDANTES ELEIPTJQUES 



exprimées par des séries infinies. Mais, avec une légère réflexion, 011 

 reconnaìt, que le coeflicient A\ ìi + ^ est multiplié par (— i )' q i[l + l) ; 

 i etani un nombre quelconquc entier et posilif. De sorte que la serie 

 précédente peut èlre représentéc par 



Z.(- I )^'C^0^' {a .^ )S hi.(2Ì-^.l) f . 



o 



En multipliant par a . y — i , on aura par les exponentielles imaginaires 

 ^en faisant X=e* '\: 



2.y—. sin. o ./( q, <p) = (À~ — X~') ■/' (q , X) f ( q, X~> ) , 

 en observant, que, d'après la formule 



i _ 2 q "' cos. 2 f -+- q 2 "' = ( i — q m X* )\i—q m X~ 2 ) ; 

 si l'on fait 



f(q, X) = ( i - q >X* ) ( i - q M") ( i - q W ) ( i - q«X> ) ; 



f(q,X->) = ( l -q 1 X->)(i-q'X-*)(i-q ( >X->)(i-q»X->) 

 l'on a 



f(^9)=f(^X).f'(q,X-') . 



En faisant de mème le produit des facteurs trinomes qui composent la 

 fonction Yl'(q, o) on verrà que l'on a une serie de la forme 



2 /?'(„) 2 q i?'( 2 ) COS. 2 ^ H- 2 <yf 4 ^'(/,) cos. 4 9 — 2 <7 9 Z?' (6) COS. 6© 



-+- 2 q' 6 B\ S) cos. 8 (? — 2 q*'B\ ÌO) cos. ioc + etc. 



06 OS 



= Z.( — i )' 2f/". cos. 2/9 = 2! .(— i) , ^ i, ' J B (i0 (X li H-X- lf ) 



o o 



= n"( 7 ,X).n"(r/,x-) ; 



en posant 



iI"(r/,.Y) = (i-^Y 1 )( 1 - 7 ^Y 1 )(i- 7 M-)(i- 7 ^¥ 1 ) ; 



U"(q, X-')=(i-qX-^)(i-q ì X-^( l -qKY-^)( l -q^X-)...; 

 ce qui donne 



n>(q, 9 ) = n"(q,X).U"(q, X~>) . 



Tons les coefiiciens ^'(^ , -^'r>) , etc. sont égaux au premier : et 



tous les coefiiciens B'^, B'^ , etc. sont egaux au premier iB\ y Mais, 

 pour démontrer celle égalité il faut reprendre les equations (T) et établir 

 un autre principe. 



