'(> > UÉMOIRE SUR I.A THÉORIE DES TRAISSCENDANTES El.LIPTIQUES 

 Ti y 71 H .. 7T i i 



ou en d'autres lennes, que 



sin.^(^) = sin.^(^-4-2//.yZ^) — sin.y/(^-|-4//') , 



Ics deux modules // el /a' ètant complèmenlaires, c'est-à-dìre lels que 

 h' -f-// a =i . Maintenant, si l'on change £ en cH~4//' on aura 



sin.^(|4-4//') = sin.^(|-h8//')=sin.^(|-Hi 2 ^') , 

 et cu general ; 



(120) sin.^(S)=sin.^(^-4-4i//') ; 



i étant # un noml)re entier. Par le changement de | en f 2 H. \~\ , 

 l'on aura 



sin. A{l-^iH. \~i) = sm.J(Z + 4H.y~ i ) = sm.J(£ + 6H.\—) • 

 et en general 



(121) sin.^/(£)==sin. A($-\- liti . 



C'est en verLu des équations (120) et (121), que l'on peut dire, que 

 les fonclions | ont deux périodes; l'une réelle, egale à ^H'; l'autre 

 imaginaire, égale à 2//. y — 1 . 



11 résulte de ces deux mèmes équations que l'on a, en general, 



sin. Jt(% + fan H'+ 2 m'ff.y^) = sin.^(£) ; 



/// et ni étant des nombrcs entiers positifs ou négatifs. Cette équalion est 

 ainsi démontrée d'une manière fort claire. Ce théorème peut tire trouve 

 facilement d'une tonte autre manière, sans l'emploi des équations (T) : 

 mais, pour e'viter toule obscurité et rendre raison du mode de son exis- 

 tence, j'ai préféré la démonstration que je viens d'exposer. Il faut con- 

 sulter les pages 91 et 92 du 3. "" Volume des Fonclions Elliptiques de 

 Legendre, pour voir son application à la division de la fonction donin e £ 

 en un nombre n de parties égales. Il suflit ici d'avoir demontre le prin- 

 cipe qui sert de fondement aux rcsultats dont j'ai parie au N.° [i3] après 

 l'équation (1 1 0). 



Si dans la méme première des trois équations (T) on y remplace 9 

 par o-+-^^ y~ l , en désignant par la valeur que prenci a par 



