2T0 MÉMOIRE SUR IA THÉORIE DES TRANSCENDANTKS ELLIPTIQUES 



mais cos./tt = ( — i)': (Ione 



n 7T Z q*' 



W= (p — 2. L . —, — • sin. oro : 



2 2 r i(i-W/ 2 ' 



ce qui redoline la méme valeur pour w, et offre le plus simple cas où 

 la ve'rité tlu principe est mi^e en évidence. 



Le changement de signe, qui peut ainsi àffecter la quantité <y par 

 l'intermcdiaire des quantités imaginaires, est un fait analytique tout-à- 

 fait digne de remarque. Il rappelle une phrase heureuse de Jean Bernouilm 

 qui disait, en 17 12, dans un cas analogue: « quae per se sunt irnpos- 

 » sibilia inserviunt lamen ad inveniendiun qnod est possibile et ad scopimi 

 » nostrum facit, idque levi et extemporanea quantitatum substitutione 

 (page 5i2 du r. r Tome de ses oeuvres). 



[21] Cela pose, voici comment on peut démontrer, que tous les 

 coefliciens A\^ , A\^ , ^' {-,) > elc ' sont égaux au premier A { 'r^ . 



En remplacant © par <p -+- ^7 • V^-i , cela revient à remplacer X par 



q X ; et on -vient de voir au N.° [19] que, par là, on a l'equation 



/ (q, q X) ./' (q ,<r'X~') = { IZ^~X* 'f ( 'I » X )-f'(<h X ~') 5 

 d'où l'on tire: 



Uonc la serie 



i.Y^i (-^'(.) sin. 9 — A\ 3) sin.3©H-etc. ) , 



exprime'e par 



(X-X->)f(q,X).f>(q,X-) 



a 11 N.° [t8], ctant mullipliée par — q~'.X~ % } doit devenir identique 

 avec celle que l'on oblient par le changement de X en qX\ ce qui 

 fournit l'equation 



-J^^cj-'X-'-q-'X-^ + q'J'^icr'X-q-'X-') 



- (/ oj\ rj) (c r 'X^c r 'X-^^ q -J' {l) ( ( ,-'X^ ( ,-X^) 



— q 10 A\ t)) ( q ~ ' Xi — q ~ ' X~ ' 1 ) -+- etc. 



= J\ l) (qX-q->X->)-q>A\ ì) (q>X>-q~>X-i) 



+ q«J\ lt) (q*>X* — q-~ : >X-") — q"A\ l) (r/'I'- r/-'X~') 



+ ( r A \,) (q'Xi — q-vX-^ — elc. 



) 



