/ ~l = se ■* 



l I — 2 CI COS. 2 © -4- 2rt ''COS. 4 O — 2 9 COS. 6s / 



n'(v, f )= 3 5' ( J ' 7 7 • ' . 



, 35) ) [■+■ 2 r/ 16 cos. 8 y . . . -+- 2 (- i ) ' q" cos. 2 if eie. 1 7 



J 53 



n'(q,<?)=2B\ 0) — 4/i\ o) .I.( — 1 )-■.,/" cos. a . 

 I 1 



En faisàrìl e; == — , cclte équation donne 



(,36) ,ff M ="^''' + '''' ( ' + '''''; 



1 -\- 2 q -\- 2 q'* 2 q > -\- 2 q -\- etc. 



Il snit de là , et de l'équalion ( 1 3^ ) ? que si l'on Fait 



/ 06 

 () = 1 -I- 2 q -+- 2 r/ ' -+- 2 <y 9 -f- 2 q' ( ' -+- 2 ^ " -4- etc. =± Z.r/" : 



o 



QO 



Q'= 1 - + - v 2 _ } _ f/ "-4-7"-+-r/ lu -+-r/ 30 -+-<7^ , ' +, >-+-ctc. = Z.<y'' 



■ 



l'on a l'équation 

 (i38) . 



(i3 7 ).. 



' t0 Q \(iH-^)(i-f-y-)(i-Hr/ 6 )(i-Hr/ s ) 



•• a j?' w Q' |(i+^)(. + r/ 3 )(i + r f ')(i + ^) j 



Par l'analyse que je viens d'exposer, on ne voit pas que l'on doive. 

 avoir l'cgalilé 2 B\ D ) =sl' { ,) : mais elle sera démontrée directement ci- 

 apres. Legendre, à la page 102 de son 3. ème Volume, a eludè cette dif- 

 ficoltò par un artifice particulier , qui devient nature! lorsqu'on sait 

 d'ailleurs l'existence de cetle équation. Néanmoins, j'ai \oulu l'éviter, 

 pour conserver à cette transformation la simplicite qui lui est inhérente. 



[22] Remarquons maintenant que, par le rapprochement de l'équa- 

 lion (118), il y a lieu de penser que le carré Q 1 de la sèrie 1 •+* 2q-\- ctc. 

 ,2//' 



est égal à . Relativement à la valeur de Q' il l'ani ohserver que, 



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en écrivant Qz=zf(q) } l'on a: 



Q =/ (c/) = i + 2(7''-+-7 ,6 -t-7 K '-+-ete.) 4- 2(</-W/''-f-.<y l, -4-etc.) . 



La première de ces deux séries peut ètre exprimée par f{q'')', don< 



( l3 9) /(7)-/(7' , ) = ^(7-^7 7 -t-7 i "'-»- el( '-) • 



Cela pose, si l'on remplace q par q ' , il est clair que nous avons 



fO/ 7 ')— /(7) = 2 (7 5 -+-7 5 -^V " -*-eic.) . 



Mais la valeur de Q' peut ètre écrite ainsi: 



